ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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SCHOLZE Peter, allemand, 1987-          Médaille Fields 2018

Source portrait : MFO (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach)

Peter Scholze naquit à Dresde (Dresden, capitale régionale de la Saxe) à l'époque de la la RDA (République Démocratique allemande), alias Allemagne de l'Est, mise en place par la Russie soviétique de 1949 à 1990. Enfant surdoué, il fit ses études secondaires au lycée Heinrich Hertz de Berlin, réputé pour sa solide formation mathématique et scientifique. Peter Scholze étudie ensuite les mathématiques à l'université Friedrich-Wilhelm de Bonn et soutient brillamment sa thèse de doctorat (2012), dirigée par Michael Rapoport,  intitulée Espaces perfectoïdes (» réf.2), un tout nouveau sujet de géométrie algébrique arithmétique dont Peter Scholze fut à l'origine en 2011 (» réf.6-7), dans le cadre du programme de Langlands. Grâce à ce nouveau concept, il parvient à prouver un cas particulier d'une difficile conjecture de Pierre Deligne (qui fut le directeur de thèse de Michael Rapoport).

 i  Michael Rapoport (1948-) : mathématicien autrichien spécialiste en géométrie algébrique appliquée à la théorie des nombres (géométrie algébrique arithmétique). Il obtient son doctorat à la Faculté des Sciences d'Orsay en 1976, Compactifications de l'espace de modules de Hilbert-Blumenthal, dirigé par Pierre Deligne (» réf.13). Michael Rapoport enseignera principalement à l'université de Bonn. En suivant ce lien, on trouvera une intéressante description de ses recherches exposée par lui-même.

Peter Scholze intègre alors (2012) le Centre de Mathématiques Hausdorff (sis à Bonn), rattaché à l'université Friedrich-Wilhelm et fut ainsi, en Allemagne, le plus jeune professeur d'université. Depuis 2018, il dirige l'Institut Max Planck de Mathématiques de l'université de Bonn (» réf.1).

Récompensé par la médaille du Clay Mathematics Institute ("Research Award") en 2014, Peter Scholze est récipiendaire de nombreux prix dont le prix Fermat 2015 et le prix Ostrowski 2015 pour ses "travaux révolutionnaires" en géométrie algébrique arithmétique. On pourra consulter les motivations complètes d'attribution du prix (» réf.13). En août 2018, "pour avoir prolongé la géométrie algébrique arithmétique sur des corps p-adiques à travers son introduction des espaces perfectoïdes, avec application aux représentations galoisiennes, et pour le développement de nouvelles théories de cohomologie", il reçoit une des quatre médailles Fields décernées au Congrès international des mathématiciens réunis à Rio de Janeiro (Brésil).

L'IMU (Union mathématique Internationale) écrit à son sujet :

Peter Scholze has transformed arithmetic algebraic geometry over p-adic fields.

Scholze’s theory of perfectoid spaces has profoundly altered the subject of p-adic geometry by relating it to geometry in characteristic p. Making useof this theory, Peter Scholze proved Deligne’s weight-monodromy conjecture for complete intersections. As a further application, he constructed Galois representations that are attached to torsion cohomology classes of locally symmetric spaces, resolving a longstanding conjecture.

Scholze’s version of p-adic Hodge theory extends to general p-adic rigid spaces. Together with Bhatt and Morrow, Scholze developed an integral version of p-adic Hodge theory that establishes a relation between the torsion in Betti and crystalline cohomologies.

On the way to the revolution that he launched in arithmetic geometry, Scholze took up a variety of topics that he reshaped, such as algebraic topology and topological Hochschild homology.

Scholze developed new cohomological methods. Beyond p-adic fields, Scholze’s vision of a cohomology theory over the integers has become a guideline that fascinates the entire mathematical community.

Soit, sensiblement, et agrémenté de quelques liens pour le lecteur averti :

Peter Scholze a transformé la géométrie algébrique arithmétique sur les corps p-adiques.

La théorie des espaces perfectoïdes de Scholze (» réf.2, 6&7) a profondément modifié le sujet de la géométrie p-adique en la reliant à la géométrie en caractéristique p. En utilisant cette théorie, Peter Scholze a prouvé la conjecture de monodromie-poids de Deligne pour les intersections complètes (» réf.2&7). Comme application supplémentaire, il a construit des représentations galoisiennes (» réf.9) qui sont attachées à des classes de cohomologie de torsion d'espaces localement symétriques (» réf.11), résolvant une conjecture de longue date.

 i  monodromie : du grec mono = unique, seul et dromos = route, sens. Ces liens monodromie et théorème de monodromie de Wikipedia en développent une acception relativement simple.

La version de Scholze de la théorie de Hodge p-adique s'étend aux espaces rigides p-adiques généraux (» réf.12). Avec Bhatt et Morrow, Scholze a développé une version intégrale de la théorie p-adique de Hodge qui établit une relation entre la torsion de Betti et les cohomologies cristallines (» réf.11).

Sur le chemin de la révolution qu'il a lancée en géométrie arithmétique, Scholze a repris divers sujets qu'il a remodelés, tels que la topologie algébrique et l'homologie de Hochschild topologique.

Scholze a développé de nouvelles méthodes cohomologiques. Au-delà des champs p-adiques, la vision de Scholze d'une théorie de la cohomologie sur les nombres entiers est devenue une ligne directrice qui fascine toute la communauté mathématique.

»  Deligne , Faltings , Weil , Zariski , Hodge , Kodaira , Serre


 ICM 2018 (Rio de Janeiro, Brésil) - Remise des médailles Fields - Interview de Peter Scholze

 


 Espaces perfectoïdes, par PeterScholze, IAS, 2011 (piètre qualité de la prise de vue)

 ➔  Pour en savoir plus :

  1. a) CV Peter Scholze (Acad. Léopoldine) : https://www.leopoldina.org/fileadmin/redaktion/Mitglieder/CV_Scholze_Peter_D.pdf
    b) Institut Max Planck de Mathématiques de l'université de Bonn :
    https://www-mpim--bonn-mpg-de.translate.goog/?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=sc

  2. Perfectoïds Spaces (thèse de P. Scholze) :

  3. a) Motivations d'attribution du prix Ostrowski 2015 : https://www.ostrowski.ch/pdf/preis2015.pdf
    b) Motivations de l'ICM2018 :  https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/Scholze-Citation.pdf
    c) Entretien avec Akshay Venkatesh et Peter Scholze, pages 44-47 du PDF, Gazette des mathématiciens (SMF, octobre 2018) :
    https://perso.math.univ-toulouse.fr/ledoux/files/2019/04/Gazette.pdf

  4. A Master of numbers and shapes who is rewriting arithmetic sur Quantamagazine.org :
    https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-becomes-one-of-the-youngest-fields-medalists-ever-20180801/#

  5. The Oracle of Arithmetic par Erica Klarreich sur Quantamagazine.org :
    https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/
    Traduction fr : https://www-quantamagazine-org.translate.goog/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/? (...)

  6. a) Perfectoïdes, presque pureté et monodromie-poids (d'après Peter Scholze), par Jean-Marc Fontaine (mathématicien français, 1944-2019) :
    http://www.bourbaki.ens.fr/TEXTES/1057.pdf  (juin 2012, séminaire Bourbaki 2011-2012)
     i      Hommage à Jean-Marc fontaine par Jean-Pierre Serre :
    • https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/item/10.5802/crmath.126.pdf
    • Publications (sur le site de l'univ. Paris-Sud) : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~fontaine/
    b) La conjecture de monodromie-poids (d'après Peter Scholze), par Mazzari Nicola :
    https://www.math.u-bordeaux.fr/~jtong/GAGA/Notes_Nicola.pdf

  7. Qu'est-ce qu'un perfectoïde ?, diapositives de Bernard le Stum, univ. Rennes :
    https://perso.univ-rennes1.fr/bernard.le-stum/bernard.le-stum/Documents_files/PerfVid.pdf

  8. Groupes de ramification et représentations d'Artin : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~fontaine/ramification.pdf

  9. a) Les représentations galoisiennes par Béranger Seguin (univ. Lille -2021) : https://lebarde.alwaysdata.net/maths/l3m2/idr.pdf
    b) Lois de réciprocité pour les classes de torsion, par Ana Caraiana (IAS) :
      https://www.ias.edu/video/membsem/2016/1031-AnaCaraiani

    Introduction d'Ana Cariana : La loi de réciprocité quadratique et le célèbre lien entre les formes modulaires et les courbes elliptiques sur Q sont deux exemples de lois de réciprocité. La construction de nouvelles lois de réciprocité est l'un des objectifs du programme de Langlands, qui vise à relier la théorie des nombres à l'analyse harmonique et à la théorie des représentations. Dans cet exposé, je passerai en revue certains progrès récents passionnants dans l'établissement de nouvelles lois de réciprocité, à savoir comment construire des représentations galoisiennes attachées aux classes de torsion qui se produisent dans la cohomologie des 3-variétés hyperboliques arithmétiques. Cela a été fait par Peter Scholze en utilisant la géométrie p-adique et sa théorie des espaces perfectoïdes. J'exposerai ensuite quelques idées pour mieux comprendre ces représentations galoisiennes qui reposent aussi de manière cruciale sur la géométrie p-adique.

  10. Formes modulaires : lien avec les courbes elliptiques, par M. Latocca et J. Lefrancq-Lumière (ENS/PSL)
    https://www.math.ens.psl.eu/~latocca/moremath/eaModulaire.pdf

  11. La notion d'espace symétrique (géométrie riemannienne) : https://fr-academic.com/dic.nsf/frwiki/594845

  12. a) Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique p, par Pierre Berthelot (mathématicien français, 1943-, qui développa la cohomologie cristalline suite aux premiers travaux de Grothendieck) :
    http://www.numdam.org/article/MSMF_1986_2_23__R3_0.pdf
    b) Introduction à l'homologie et à la cohomologie, avec exemples par Thierry Masson (juillet 2004) :
    ..\pdf\Introduction à l'homologie et à la cohomologie.pdf

  13. Compactifications de l'espace de modules de Hilbert-Blumenthal, thèse de Michael Rapoport :
    http://www.numdam.org/item/CM_1978__36_3_255_0.pdf

 Maynard
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