ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Une
algèbre de Clifford |
Considérons l'espace vectoriel E engendré par les matrices de Pauli :
C'est un sous-espace vectoriel de M2(C), matrices carrées d'ordre 2 à termes complexes, lequel est aussi un anneau unitaire (d'élément unité noté ici σo) et une algèbre si on le munit de la multiplication des matrices. Mais E n'est pas stable pour la multiplication. Par exemple : σxσx = σo , σxσy = iσz.
On peut vérifier que la stabilité est assurée si nous considérons l'espace vectoriel engendré par :
La structure obtenue, notée ici C3 (C pour Clifford, 3 car E est de dimension 3) est une algèbre associative, non commutative. Ses éléments sont de la forme :
où a, x, y, z, x', y', z', b sont des réels.
On parle de nombres de Clifford. Ils sont somme :
- d'un scalaire (aσo
= a.1 = a)
- d'un vecteur (xσx
+ yσy
+ zσz)
- d'un bivecteur (x'σxσy
+ y'σyσz
+ z'σzσx)
- d'un pseudoscalaire (bi = bσxσyσz).
Remarques :
Sur R, C3 est de dimension 8 = 23. Dans le cas général, si dim E = n, alors dim Cn = 2n.
Dans la base (σx, σy, σz) de E, on vérifie facilement que le produit de deux vecteurs X et Y, appelé produit extérieur de X et Y est lié au produit vectoriel usuel par :
Notons F l'ensemble des éléments de C3 , sommes d'un scalaire et d'un bivecteur, donc de la forme :
On obtient une sous-algèbre de C3 de dimension 4 et en posant σo = 1, iσx = i, iσy = j , iσz = k, on définit un isomorphisme entre F et le corps des quaternions d'Hamilton.
➔ Pour en savoir plus :