ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Une algèbre de Clifford

 Considérons l'espace vectoriel E engendré par les matrices de Pauli :

C'est un sous-espace vectoriel de M2(C), matrices carrées d'ordre 2 à termes complexes, lequel est aussi un anneau unitaire (d'élément unité noté ici σo) et une algèbre si on le munit de la multiplication des matrices. Mais E n'est pas stable pour la multiplication. Par exemple : σxσx = σo , σxσy = iσz.

On peut vérifier que la stabilité est assurée si nous considérons l'espace vectoriel engendré par :

La structure obtenue, notée ici C3 (C pour Clifford, 3 car E est de dimension 3) est une algèbre associative, non commutative. Ses éléments sont de la forme :

c = a + xσx + yσy + zσz + x'σxσy + y'σyσz + z'σzσx + bi

où a, x, y, z, x', y', z', b sont des réels.

On parle de nombres de Clifford. Ils sont somme :

-  d'un scalaire (aσo = a.1 = a)
-  d'un vecteur (xσx + yσy + zσz)
-  d'un bivecteur (x'σxσy + y'σyσz + z'σzσx)
-  d'un pseudoscalaire (bi = bσxσyσz).

Remarques :   

XY = iX Y
c = a.σo + b.iσx + c.iσy + d.iσz

On obtient une sous-algèbre de C3 de dimension 4 et en posant σo = 1, iσx = i, iσy = j , iσz = k, on définit un isomorphisme entre F et le corps des quaternions d'Hamilton.

 Pour en savoir plus :


© Serge Mehl - www.chronomath.com