ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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JOHNSON W. Norman, américain, 1930-

Ce mathématicien américain nous est principalement connu pour une catégorie de polyèdres portant son nom. Il fut, à Toronto (Canada), un étudiant de Coxeter, spécialiste des polyèdres et polytopes (généralisation du concept de polyèdre en dimension supérieure à 3). C'est ainsi qu'il soutint (1966), dans la même veine que son éminent professeur, sa thèse de doctorat portant sur les polytopes uniformes (généralisation en dimension supérieure à 3 des polyèdres semi-réguliers étoilés) : The theory of uniform polytopes and honeycombs.

  En anglais, dans un contexte géométrique, honeycomb = nid d'abeilles, est la généralisation à un espace de dimension au moins égale à 3, du pavage en dimension 2.

Pavages du plan :                     Pavages quasi-périodique de Catalan :

Johnson, enseigna pendant toute sa longue carrière, au Wheaton College de Norton (Massachusetts, USA), un établissement privé renommé d'enseignement supérieur, fondé en 1834, qui fut réservé aux jeunes filles jusqu'en 1988.

Les illustrations de cette page ont été obtenues grâce au logiciel Polypro, dont la version de base est gratuite et téléchargeable à l'adresse : http://www.peda.com/polypro/

Polyèdres de Johnson :    

La même année 1966, Johnson étudie et classifie l'ensemble des polyèdres convexes à faces régulières qui porteront son nom en omettant les polyèdres déjà connus : les solides de Platon (polyèdres réguliers), les solides d'Archimède, les (infinités de) prismes et antiprismes.

Voyez aussi les polygones réguliers :

Il en décrit ainsi 92. Un tour de force ! à la même époque, entre 1966 et 1969, le mathématicien russe Victor Zalgaller s'intéresse au problème et confirme l'exhaustivité de la liste de Johnson.

  Victor Abramovich Zalgaller, mathématicien russe (1920-). Spécialiste en programmation linéaire et dynamique (optimisation), polyèdres convexes, géométrie différentielle. De confession juive, il émigra en Israël en 1999.

À droite, un pigeonnier dont la section par un plan horizontal est un octogone régulier (sud-ouest, France) 

Un grand nombre de polyèdres de Johnson s'obtiennent par copier/couper/coller à partir de polyèdres de base, comme ceux d'Archimède ou de Platon. Johnson et Zalgaller introduisent en particulier des structures élémentaires comme :

Les toits pyramidaux :    

Elles peuvent être éventuellement allongées (elongated) : augmentées respectivement sous leur base par un cube et un prisme pentagonal à faces carrées.

Les coupoles :   

La rotonde (ou dôme) pentagonale :    

Il s'agit d'un demi icosidodécaèdre. Elle est constitué par un pentagone "au sommet" (5 faces) et une base décagonale sur laquelle repose une alternance de triangles équilatéraux et de pentagones réguliers. La liaison avec le sommet est établie par 5 triangles équilatéraux :

Polyèdres gyroallongés :  

Certains polyèdres de Johnson se retrouvent avec le qualificatif  de gyroallongé lorsqu'ils sont augmentés d'un antiprisme semi-régulier (base régulière, faces équilatérales) tournant autour (= gyro). Voici, par exemple la pyramide pentagonale gyroallongée J11 et son patron :

 

On parle aussi de bipyramide, bicoupole, birotonde (en anglais di- au lieu de bi- ) pour signifier un polyèdre obtenu par recollement des bases de deux pyramides, coupoles, rotondes ayant des bases identiques. L'octaèdre, par exemple s'interprète comme une bipyramide.

On parle parfois de diamant au lieu de bipyramide, une appellation cependant  peu précise, faisant allusion à la structure octaédrique du diamant.


  Le très beau Métabygyrorhombicosidodécaèdre (J74)
Le
cube tronqué biaugmenté (J67)      cube tronqué (archimédien)

  Platon , Kepler , Poinsot , Coxeter , Catalan

Pour en savoir plus :


Feit   Shimura
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