ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

En raison d'encombrement...    application de la loi de Poisson           » File d'attente , Accidents du travail

Un central téléphonique possède L lignes. On estime à 1200 le nombre de personnes susceptibles d'appeler le standard sur une journée de 8 heures, la durée des appels étant de deux minutes en moyenne.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes en train de téléphoner à un instant donné.

1°/ Montrer que l'on est en droit d'approcher la distribution de X par une loi de Poisson.

2°/  On suppose L = 3. Calculer la probabilité d'encombrement à un instant donné, à savoir Prob(X > L).

3°/ Quelle doit être la valeur minimale de L pour qu'à un instant donné, la probabilité d'encombrement ne dépasse pas 0,1.

 ➔   Cet exercice est inspiré de celui de Claude Thimonier dans son fascicule « Cours de mathématiques appliquées » à l'intention des étudiants en expertise comptable et BTS commerciaux - Ed. scientifiques et juridiques, 1986.

1°/ Un appel au standard à un instant donné est une éventualité de probabilité

p = 2/(8 x 60) = 1/240

Les appels sont a priori indépendants les uns des autres. X suit une loi binomiale de paramètres n = 1200 et p = 1/240, de moyenne (espérance mathématique) m = np = 5. On est tout à fait dans les conditions d'une excellente approximation par la loi de Poisson.

 ➔  La loi de Poisson étant la loi discrète des éventualités rares, indépendantes les unes des autres et dont la probabilité de réalisation sur un un laps de temps court δt lui est proportionnelle, elle s'impose clairement ici sans même parler de loi binomiale.

2°/ Le paramètre de la loi de Poisson suivie par X est sa moyenne de paramètre λ= 5. Il s'agit de calculer Prob(X > 3), ce qui revient à

1 - Prob(X <= 3) = 1 - [Prob(X = 0) + Prob(X = 1) + Prob(X = 2) + Prob(X = 3)]

On peut faire ce petit travail "à la main", utiliser les tables ou utiliser les programmes ci-dessous. En écrivant  Prob(X > 3) = Prob(X>= 4), on utilise le second programme avec k = 4 : la probabilité d'encombrement est de 0,735; c'est dire que le standard risque d'être saturé dans près de 75% du temps !

» Selon la distribution de la loi de Poisson, les probabilités les plus fortes correspondent aux valeurs proches du paramètre, il est donc naturel d'obtenir le résultat élevé ci-dessus.

3°/ Les tables ou l'usage, par essais successifs, du second programme ci-dessous, fourni(ssen)t :

• Prob(X>= 8) = Prob(X > 7) = 0,13...

• Prob(X>= 9) = Prob(X > 8) = 0,068...

Il faut donc 8 lignes afin d'assurer une probabilité de non encombrement de plus de 1 - 0,1 = 0,9, soit 90% du temps.