ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Loi de Poisson (probabilités)     @  programme de calcul   »  loi normale

Une variable aléatoire discrète X, discrète en ce sens que sa densité n'est pas continue comme la loi normale : elle prend ses valeurs dans N, suit une loi de Poisson de paramètre λ lorsque :

L'espérance mathématique (valeur moyenne) de cette loi est son paramètre λ. Cette loi intervient dans des processus aléatoires dont les éventualités sont faiblement probables et survenant indépendamment les unes des autres : cas des phénomènes accidentels, d'anomalies diverses, des problèmes d'encombrement ("files d'attente"), des ruptures de stocks, etc.

Mais d'où vient cette exponentielle e^-λ  et cette factorielle k ?

En fait, la loi de Poisson est un cas limite de la loi binomiale pour lequel intervient le facteur temps : considérons un phénomène aléatoire A dont il apparaît que :

la probabilité d'apparition de A sur un laps de temps infinitésimal (très petit) Δt est proportionnelle à ce Δt, indépendante de la période considérée et non reproductible (A apparaît au plus une fois)

Le nombre d'apparitions de A dans l'unité de temps choisie est une variable aléatoire de Poisson. Notons nΔt, n entier, l'unité de temps : 1 = nΔt. Par hypothèse, dans le laps de temps Δt = 1/n, A se produira au plus une fois. Le nombre k d'apparitions de A dans l'unité de temps (n sous intervalles de durée Δt) fournit la valeur de la variable aléatoire X qui apparaît comme variable binomiale, somme de n variables de Bernoulli identiques dont la probabilité de réalisation est p = λ/n où λ est le coefficient de proportionnalité issu de notre hypothèse. On a :

Le dernier membre est un produit de quatre facteurs : lorsque n tend vers l'infini, le premier est constant, le second tend vers 1, le quatrième tend vers 1. Le troisième tend vers e^-&lambda. En effet, lorsque x tend vers zéro, ln(1 + x) est équivalent à x. Donc, pour n tendant vers l'infini, ln(1 - λ /n) est équivalent à -λ/n et par suite n × ln(1 - λ /n) est équivalent à -λ. C'est dire que (1 - λ /n )ⁿ a pour limite e^-λ.

D'où le résultat attendu :

Prob(X = k) = e^-λλ^k/k!

Sachant depuis Euler que e^λ = Σλ^k/k!, on montrera facilement que l'espérance E(X) de la loi de Poisson de paramètre λ est λ lui-même, c'est à dire np (espérance de la loi binomiale),  puis que E(X²) = λ + λ², donc que la variance est aussi égale à λ puisque V(X) = E(X²) - [E(X)]².

» La constance de λ = np, contrainte posée pour l'approximation peut s'interpréter ainsi : plus n est grand, plus la probabilité d'apparition du phénomène est faible, sa moyenne restant la même. Dans le contexte de la loi de Poisson, elle s'explique par l'hypothèse de proportionnalité de la probabilité d'apparition du phénomène au laps de temps considéré.

»  On peut aussi démontrer que :

• 

• si X et Y sont régies par des lois de Poisson indépendantes de paramètres λ₁ et λ₂, alors leur somme suit une loi de Poisson de paramètre λ₁ + λ₂.

 ➔  Le développement ci-dessus montre que la loi de Poisson peut être utilisée en tant qu'approximation d'une loi binômiale B(n,p) lorsque n est "grand" et p "petit" avec λ = np.

On peut estimer une bonne approximation avec des valeurs de l'ordre de :

n > 50, p < 0,1 et np < 10

Un λ= np "trop grand" risque d'écraser les probabilités et donner des valeurs non significatives car e^-λ sera "très petit". Cependant un n "très grand" (> 1000) et un p "très petit" (quelques millièmes ou centièmes) fourniront généralement une très bonne approximation.

 ➔   Ces conditions varient suivant les manuels et les auteurs. On ajoute parfois la condition sur la variance : npq ≤ 10 (avec q = 1 - p). Tout dépend du phénomène étudié et de la précision voulue des calculs. Il s'agit de faire coïncider au mieux les fonctions de répartition des deux lois. Une autre approximation de la loi binomiale est la loi normale, dite de Laplace-Gauss.

Loi des grands nombres : »

Suite à une vaccination contre le paludisme, dans une population à risque, on estime à 2%, compte tenu du délai d'immunisation, la proportion de personnes qui seront pourtant atteintes de la maladie. Quelle est la probabilité de constater, lors d'un contrôle dans un petit village de 100 habitants tous récemment vaccinés, plus d'une personne malade ? (on supposera l'indépendance des éventualités).

L'application (peu pratique) de la loi binomiale aurait fourni 1 - m = (0,98)¹⁰⁰ + 2 × (0,98)⁹⁹ @ 0,403. Soit m @ 0,597. L'approximation est donc ici excellente.