ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

A104 >> A6 : bouchon  à 3 km...     Application de la loi de Poisson           » En raison d'encombrements, votre appel ne peut pas aboutir... , Accidents du travail

Un poste de péage d'une autoroute possède plusieurs guichets. En période de pointe et dans la tranche horaire 7h-9h, on compte 6300 véhicules par heure.

 ➔   C'est sensiblement le cas à Nice ou sur le boulevard périphérique parisien. Dans ce problème, on arrondira les probabilités au millième près.

Des compteurs, à la sortie du péage, ont montré qu'un usager met en moyenne 18 secondes pour s'acquitter de la redevance. On estime qu'il y a risque de saturation (création d'un bouchon) si on compte plus de 10 véhicules en attente à chaque guichet. On se place désormais dans la période considérée 7h-9h.

1°/ Le nombre de véhicules présents au péage à un instant donné est une variable aléatoire X. Quelle est sa loi ? Quelle est son espérance mathématique E(X) : nombre moyen de véhicules présents au péage à un instant donné ?

2°/  Dans le où il y a 5 guichets, en admettant une égale répartition des véhicules sur chaque guichet et en notant Y le nombre de véhicules se présentant à un guichet à un instant donné, justifier que Y suit sensiblement une loi de Poisson et calculer la probabilité de saturation, à savoir le nombre Prob(Y > 10).

3°/ L'usage d'un tableur ou des programmes présents sur cette page sont ici indispensables vu la complexité des calculs : on suppose le nombre g de guichets non précisé. Quelle est la valeur minimale à attribuer à g afin que la probabilité de saturation n'excède pas 0,01 ?

1°/ L'arrivée d'un véhicule au péage est une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de l'observer dans la période considérée est

p = 18/(2 × 3600) = 0,0025

Sur cette période l'épreuve est répétée n = 12600 fois et les éventualités étant a priori indépendantes les unes des autres, on est en présence d'une loi binomiale. Le nombre moyen de véhicules est alors np = 31,5.

2°/ Pour un guichet donné, Y suit une loi binomiale B(n,p') de paramètres n = 12600 et p' = p × 1/5 = 0,0005, de moyenne n × p' = 6,3 (c'est aussi 31,5/5) approximable par une loi de Poisson de paramètre (moyenne) 6,3 < 10 : on peut espérer une probabilité non négligeable de non saturation :

P(Y > 10) = P(Y≥ 11) = 1 - P(Y < 11) ≅ 0,056

3°/ Procédons (approximativement) par dichotomie sur le nombre de guichets :

• 5 guichets : P(Y > 10) ≅ 0,056 > 0,01

• 10 guichets : entrez comme paramètre 3,15 = 31,5/10; P(Y > 10) ≅ 0,000437 < 0,01

• 8 guichets : entrez comme paramètre 31,5/8 (le programme fera la division...); P(Y > 10) ≅ 0,002... < 0,01

• 6 guichets : entrez comme paramètre 31,5/6; P(Y > 10) ≅ 0,0188 > 0,01

Il faudra donc 7 guichets

 !   La probabilité trouvée en 2°/ pour 5 guichets est d'environ 6%; en ajoutant seulement 2 guichets, elle est divisée par 6 : il n'y pas de proportionnalité !