ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Accidents du travail
une application de la
loi de Poisson
» File d'attente , En raison d'encombrements... |
On a répertorié dans une usine le nombre d'accidents mineurs subis par le personnel dans une journée de travail sur une période de 200 jours. Ces accidents sont survenus indépendamment les uns des autres. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :
| Nombre d'accidents | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Nombre de jours | 86 | 82 | 22 | 7 | 2 | 1 |
➔ par exemple, la colonne 4 indique que le nombre de journées où il s'est produit 2 accidents est de 22.
1°/ Quel est le nombre moyen d'accidents par jour ? Interpréter concrètement le résultat trouvé.
2°/ On ajuste cette distribution par une loi de Poisson.
Justifier cette décision et préciser cette loi;
Comparer avec un ajustement par la loi binomiale.
3°/ Quel est le nombre théorique de jours où il se produit moins de 3 accidents ? Comparer avec la réalité.
Si vous séchez après
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| Solution : |
1°/ Appelons X la variable aléatoire égale au nombre d'accidents recensés par jour; les valeurs possibles de X sont entières (variable discrète) et varient de 0 à 5. A chacune de ces valeurs xi , on associe sa probabilité de réalisation pi : nombre de jours d'apparitions divisé par 200.
| Nombre xi d'accidents | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Probabilités pi | 0,43 | 0,41 | 0,11 | 0,035 | 0,01 | 0,005 |
Le nombre moyen d'accidents par jours est alors l'espérance mathématique de X :
E(X) = Σxipi = (0 × 86 + 1 × 82 + 2 × 22 + 3 × 7 + 4 × 2 + 5 × 1)/200 = 0,8 = 4/5
On peut énoncer qu'il y a en moyenne 0,8 accidents par jour ou, plus concrètement, 4 accidents en moyenne tous les 5 jours.
» C'est une moyenne : comme l'indique la statistique (86 jours sans accident), on pourrait constater aucun accident pendant plusieurs jours consécutifs !
2°/ La loi de Poisson est la loi des "anomalies" indépendantes et de faible probabilité. On peut l'appliquer ici a priori directement, faute d'autres informations sur la survenue des accidents.
Afin de mieux s'en convaincre, en notant que les accidents sont considérés comme des événements indépendants, on peut interpréter X comme une variable binomiale de paramètre n = 200 (nombre d'épreuves) de moyenne np = 0,8. Par suite p = 0,004. On est tout à fait dans le champ d'approximation de la loi de Poisson : n > 50, p ≤ 0,1 et np = 0,8 ≤ 10.
Le paramètre de cette loi sera λ = np = 0,8 et :
Prob(X = k) = e-0,8(0,8)k/k!
Tableaux comparatifs :
La dernière ligne indique les probabilités obtenues par la loi binomiale, très peu pratique ici eu égard au grand nombre d'observation (manipulation de combinaisons et puissances) : Pr{B = k} = Cnk x pkqn-k. Par exemple :
Pr{B = 2} =
× (0,004)2(0,996)198 = 200 ×
199/2 × 0,000016 ×
0,452219...
≅
0,144
| Nombre xi d'accidents | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Nombre de jours | 86 | 82 | 22 | 7 | 2 | 1 |
| pi | 0,43 | 0,41 | 0,11 | 0,035 | 0,01 | 0,005 |
| pi théoriques selon Poisson | 0,449 | 0,359 | 0,144 | 0,038 | 0,008 | 0,001 |
| pi selon loi binomiale | 0,448 | 0,360 | 0,144 | 0,038 | 0,0075 | 0,001 |
3°/ La probabilité de voir survenir moins de 3 accidents est théoriquement 0,449 + 0,359 + 0,144 = 0,952.
Le nombre théorique de jours où il se produit moins de 3 accidents est donc 0,952 × 200 = 190,4, nombre arrondi à 190.
Le nombre fourni par la réalité (statistique) est : 86 + 82 + 22 = 190. On remarque un bon ajustement par la loi de Poisson. Le cas k = 5 est moins convaincant mais il est marginal.