ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Étude d'un tableau statistique à deux variables #3        niveau BTS/Sup
     Montant global du commerce extérieur et exportation construction automobile 1970-1979
    
  #1 , #2 , #4 , #5 (couple pondéré)

Source : extrait du sujet BTS Services Informatiques 1985, in Annales corrigées  BTS comptabilité et gestion, informatiques de gestion, Éd. Foucher, 1990

L'objectif de cet exercice est de rechercher une corrélation linéaire entre les séries chronologiques X et Y du commerce extérieur de la France et la part de sa production automobile à l'export durant les années 1970, exprimés en milliards de francs.

Années Série X : Commerce extérieur Série Y : Production automobile à l'export
1970 99,6 11.4
1971 114 13.6
1972 131.5 15.8
1973 159.7 18.2
1974 220.2 22.1
1975 223.3 27.3
1976 266.2 34.7
1977 311.5 42.2
1978 344.6 47.9
1979 416.9 55.9

1° Représenter le nuage de points associé à ce tableau (commerce extérieur en abscisse x et production automobile en ordonnée y). 1 cm pour pour 20 milliards de francs en x, 1 cm pour 2 milliards de francs. On placera l'origine en (80,10).

2°/ Calculer les valeurs exactes des coordonnées du point moyen.

3°/ Calculer les valeurs exactes des variances V(X) et V(Y) ainsi que celle de la covariance cov(X,Y)

4°/ Calculer le coefficient de corrélation linéaire à 10-2 près.

5°/ Déterminer les équations des droites de régression de y en x (D1) et de x en y (D2). On arrondira les coefficients à 10-3 près. Tracer ces droites dans le repère précédent. Conclure.

Si vous séchez après avoir bien cherché :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

1°/ A l'exception du point (220.2,22.1), l'ensemble des points du nuage sont relativement bien alignés et une corrélation linéaire semble envisageable.


Le tableau statistique et l'ajustement vus par Graphmatica

2°/ Le point moyen est  G(X,Y) = G(228.75,28.91).

3°/ La variance V(X) est égale à la moyenne des carrés diminué du carré de la moyenne, soit :
     V(X) = 62451.289 - 52326.5625 = 10124.7265. De la même manière, V(Y) = 217.5769.
      La covariance de X et Y est la moyenne des produit diminuée du produit des moyennes : cov(X,Y) = 1469.4455.

4°/ σ(X) et σ(Y) désignant les écarts-types de X et de Y, racines carrées de leur variance, le coefficient de corrélation linéaire est le quotient r = cov(X,Y)/[σ(X)σ(Y)] = 0.990079 0.99.

Point moyen : G(228.75,28.91)    Σxi = 2287.5 Σyi = 289.1 Σxi2 = 624512.89
Σyi2 = 10533.65 Σxiyi = 80826.08 V(X) = 10124.7265 σ(X) = 100.6217
V(Y) = 217.5769  σ(Y) = 14.750  cov(X,Y) = 1469.4455 r 0,99

5°/ La droite de régression de y en x a pour équation y - Y = a(x - X) avec a = cov(X,Y)/V(X) 0.145 :

D1 : y = 0.145x - 4.289

La droite de régression de x en y a pour équation x - X = a'(y - Y) avec a' = cov(X,Y)/V(Y) 6.754 :

D2 : x = 6.754y + 33.501

On constate que les deux droites sont "quasiment" identiques dans le champ [100,400] x [10,60]. Rien d'étonnant puisque r2 = aa' 1 et, ramenée à y en fonction de x, D2 a pour équation y = 0.148x - 4.96, qui est sensiblement celle de D1. Une corrélation linéaire apparaît pertinente et signifie que la construction automobile destinée à l'export varie avec un taux constant dans le même sens (pentes > 0) que le chiffre du commerce extérieur.

Paramètres obtenus au moyen du programme des moindres carrés :   


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