ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Couple statistique à deux variables pondérées     niveau Sup, BTS           » Programme en ligne de calcul des paramètres d'un couple (X,Y) |  ∗∗∗ exercice #5 | voir aussi : #1 , #2 , #3 , #4            Statistique élémentaire à 1 dimension | Régression par la méthode des moindres carrés

Cette page suppose connus le vocabulaire et les résultats fondamentaux de la statistique élémentaire enseignée au collège et au lycée. Il s'agit ici de préciser le vocabulaire utilisé dans l'étude d'une population statistique dont deux caractères quantitatifs X et Y sont récoltés simultanément sous la forme de couples de données (x_i, y_j). On parle de couple statistique (X,Y). L'objectif principal étant l'estimation de la corrélation et de la dépendance, aux sens usuels et statistiques de ces termes, pouvant exister entre ces caractères. Il est équivalent de parler de statistique double ou de statistique à deux dimensions.

 ➔  Il faut distinguer ce cas de celui, plus élémentaire, de la donnée de deux séries à 1 dimension X = (x_i, m_i) et Y = (y_i, n_i), i = 1,2, ...n, où X et Y sont récoltées et étudiées séparément, m_i et n_i désignant respectivement les effectifs des valeurs observées x_i et y_i. L'objectif étant, in fine, d'établir une corrélation entre X et Y, en particulier une relation fonctionnelle de type Y = f(X). Voyez par exemple cet exercice ou celui-ci ou encore celui-là.

Dans le cas présent, l'objectif est le même mais, comme il a été dit supra, les données récoltées sont des triplets de valeurs (x_i, y_j,n_i,j ), les effectifs observés étant ceux du couple (x_i, y_j). On résume les données au moyen d'un tableau à double entrée en X et Y.

Par exemple :     (» exercice)

Ci-dessous, le couple (40,7) correspondant à X = 40 et Y = 7, a été observé 16 fois. On peut déduire de ce tableau que X = 40 a été rencontré 42 fois (5 + 16 + 12 + 9) au cours de cette étude statistique : à partir de l'étude d'un couple statistique, on peut déduire les distributions de X et de Y. Comme nous allons le voir, on parle de distribution marginale.
 

xi  \  yj	6	7	8	9
30	2	4	9	8
40	5	16	12	9
50	15	10	6	4

 ➔  Dans cette page, on fera souvent le lien avec le contexte probabiliste où X et Y représenteraient alors des variables aléatoires discrètes définies sur un même espace probabilisé. On remarquera qu'il suffit pour cela de remplacer simplement fréquence par probabilité.

Relativement à la statistique élémentaire à 1 dimension, on remarquera ci-dessous de nombreuses redondances. Le vocabulaire propre aux couples statistiques concerne :

• les effectifs marginaux, les fréquences marginales;

• les fréquences conditionnelles, la notion d'indépendance statistique;

• la covariance, la corrélation.

Nuage de points, Regroupement en classes, Effectifs et fréquences :    

♦  Dans ce cas de deux variables, deux caractères X et Y d'une population statistique de N individus (effectif total) sont observés. On suppose avoir relevé deux séries d'observations, m valeurs (x_i) _{1≤ i ≤ m} de X et p valeurs (y_j) _{1≤ j ≤ p} de Y. On parle de nuage de points que l'on peut représenter dans un repère orthogonal : points M_i,j de coordonnées (x_i, y_j).

En toute généralité, les index i et j n'ont pas la même amplitude de variation : m ≠ p dans la mesure où les valeurs d'un caractère peuvent être plus fluctuantes que l'autre au sein de la population.

• Pour des séries à fort effectif, tout comme dans le cas des statistiques à 1 dimension et en particulier concernant des caractères pouvant varier continument (pouvant prendre a priori toute valeur dans un intervalle donné), les valeurs recueillies sont souvent triées et regroupées en un certain nombre de classes. Les x_i et y_j sont alors les centres des classes.

Séries classées :  »

• On appelle effectif (partiel) d'un couple (x_i, y_j), le nombre n_i,j d'observations simultanées de x_i et y_j chez un individu. On a :

             » opérateur de sommation

» Les auteurs spécialisés en la matière utilisent ou non le qualificatif partiel dans la définition ci-dessus. L'option ici choisie est de l'omettre dans la mesure où tout effectif non qualifié de total sera, par défaut, partiel.

• Dans le cas d'une série double étudiée par classes, les effectifs partiels sont leurs cardinaux (nombre d'éléments).

Diagramme des effectifs :    

Le diagramme des effectifs à 2 dimensions est la représentation d'une fonction du type (x,y) →z∈N. Il s'agit donc d'une représentation 3D où les effectifs sont portés en cote (diagramme de droite ci-dessous). Grâce aux ordinateurs et à l'usage des tableurs, on peut facilement obtenir des représentations très sophistiquées. Le diagramme de gauche exprime le diagramme des effectifs en statistique à 1 dimension, du type x→y.

• On appelle fréquence d'un couple (x_i, y_j), le nombre f_i,j = n_i,j /N, quotient de son effectif par l'effectif total de la série double.

» Les auteurs spécialisés en la matière utilisent ou non le qualificatif partiel dans les définitions ci-dessus. L'option ici choisie est de l'omettre dans la mesure où tout effectif non qualifié de total sera, par défaut, partiel.

L'ensemble des couples (x_i, y_j,, n_i,j) _{i = 1,2,...,k} est qualifié de distribution d'effectifs. On la résume dans un tableau à double entrée (en bleu) en faisant apparaître les effectifs marginaux (en vert). On voit là le pourquoi de l'appellation marginal(e) : les effectifs marginaux et fréquences marginales (en jaune, définies ci-après) apparaissent en marge du tableau.

• On remarque que :

♦  Fréquences/Probabilités marginales :   

En marge du tableau ci-dessus (en jaune), sont indiquées les fréquences marginales (probabilités marginales dans le cas aléatoire) des données en X et Y :

• f_xi indique la fréquence observée d'une valeur x_i de X indépendamment des valeurs observées de Y :

• f_yj indique la fréquence observée d'une valeur y_j de Y indépendamment des valeurs observées de X :

La somme sur i et j des fréquences f_i,j = n_i,j /N des couples (x_i, y_j) est égale à 1 comme on doit s'y attendre. Elle n'est autre que les sommes des fréquences marginales tant en i que en j, ce qui permet de vérifier les calculs.

dans le cas d'un couple aléatoire, f_xi est la probabilité de réalisation de l'événement [X = x_i] : il s'agit de la loi de probabilité de X. Remarque analogue concernant les f_yj .

♦  Fréquences conditionnelles :

• la fréquence conditionnelle de x_i relativement à y_j (on dit aussi sachant y_j) :

• la fréquence conditionnelle de y_j relativement à x_i (on dit aussi sachant x_i) :

On constate que f_yj/xi , fréquence conditionnelle de y_j sachant x_i , peut s'écrire n_i,j /N ÷ n_i,•/N , c'est à dire comme quotient de la fréquence du couple (x_i, y_j) par la fréquence marginale de x_i. On en déduit :

f_i,j = f_xi × f_yj/xi

Autrement dit :

La fréquence d'un couple (x_i, y_j) est le produit de la fréquence marginale de x_i par la fréquence conditionnelle de y_j sachant x_i.

De même :

f_i,j = f_yj × f_xi/yj

La fréquence d'un couple (x_i, y_j) est le produit de la fréquence marginale de y_j par la fréquence conditionnelle de x_i sachant y_j.

en termes de probabilités conditionnelles, f_i,j s'interprète comme la probabilité de l'événement (X = x_i )∩(Y = y_j) et f_xi comme la probabilité de l'événement (X = x_i), conduisant à prob[(X = x_i )∩(Y = y_j)] = prob(X = x_i) × prob[(Y = y_j)/(X = x_i)] :

prob(A∩B) = prob(A) × prob(B/A) = prob(B) × prob(A/B)

♦  Indépendance statistique de deux caractères X et Y :   

Les caractères X et Y sont dits indépendants lorsque pour tout i et j, on a : f_xi/yj = f_xi  et  f_yj/xi = f_yj.

C'est dire que :

les fréquences des valeurs x_i de X ne dépendent pas des valeurs y_j de Y et de même
les fréquences des valeurs y_j de Y ne dépendent pas des valeurs x_i de X.

La condition d'indépendance peut aussi s'écrire : f_i,j = f_xi × f_yj, c'est à dire :

pour tout i et j : N × n_i,j = n_i,• × n_•,j

en termes de probabilités, p (A∩B) = p(A) × p(B), p(A/B) = p(A), p(B/A) = p(B).

Théorème de Bayes et indépendance en probabilités :  »

♦  Valeurs moyennes (espérance mathématique) :   

La valeur moyenne d'une série statistique X (reps. Y) est la moyenne X (resp. Y) de ses valeurs pondérées par leurs effectifs marginaux :

        (m1)

N étant un coefficient indépendant de i, on peut le placer en division de n_i,• (resp. n_•,j) permettant d'introduire les fréquences marginales de x_i  (resp. y_j) :

      (m2)

en termes probabilistes, pour une variable aléatoire X dont les valeurs x_i sont prises avec la probabilité p_i, = Prob[x = x_i] sa valeur moyenne (espérance mathématique), notée E(X), est pondérée par les probabilités : E(X) = Σp_ix_i : la probabilité p_i d'apparition de la valeur x_i joue dans ce cas le rôle de la fréquence d'apparition de cette valeur.

On peut aussi exprimer X et Y au moyen des fréquences f_i,j = n_i,j /N des couples (x_i, y_j) en exprimant n_i,• (resp. n_•,j) par leur expression en fonction des n_i,j :

        (m3)

C'est à dire :

     (m4)

∗∗∗
a) Justifier que si une série X = (x_i) est constante : x_i = k pour tout i, alors E(X) = k.
b) Vérifier que l'espérance mathématique est une forme linéaire : E(X + Y) = E(X) + E(Y), E(kX) = k.E(X)

Propriété 0 :   

On vérifiera facilement que :

aX + b = aX + b ; en termes d'espérance mathématique E(aX + b) =aE(X) + b.

Propriété 1 :   

Dans le cas où les séries X et Y sont indépendantes, on a : E(X × Y) = E(X) × E(Y)

Preuve : selon l'hypothèse, on a (indépendance) f_i,j = f_xi × f_yj. En utilisant (m3) la somme sur i,j, c'est à dire E(X × Y) se décompose alors en le produit des sommes Σ f_xi × x_i et Σ f_yj × y_j : c'est à dire E(X)E(Y).

♦  Variance :   

La variance V d'une série statistique ou d'une variable aléatoire X est la moyenne des carrés des écarts de ses valeurs par rapport à sa moyenne :

ou bien, au moyen des fréquences marginales des x_i et (resp. y_j) :

La formule de Huygens-Koenig est souvent d'une grande utilité dans les calculs :

V(X) = X² - (X)²  soit,  en termes probabilistes : V(X) = E(X²) - [E(X)]²      (m5)

Propriété 2 :   

Dans le cas où les séries ou les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, on a : V(X+Y) = V(X) + V(Y)

Preuve : utiliser la formule ci-dessus en développant les carrés et utiliser la propriété 1.    » m6

Propriété 3 :  

En en utilisant la formule de Koenig, on montrera facilement que pour tout réel a et b :
 

V(aX + b) = a²V(X)

♦  Écart-type ou déviation standard :   

On utilise les carrés des écarts et non les écarts eux-mêmes afin d'éviter une correction fallacieuse entre des écarts positifs et négatifs. L'usage de l'écart moyen arithmétique est très rarement utilisé car peu opérationnel de par les valeurs absolues et son absence de propriétés additives en présence de variables indépendantes.

L'écart-type ou l'écart quadratique moyen ou encore la déviation standard (» Pearson) d'une série ou variable aléatoire X est la racine carrée de la variance, il est un marqueur de la dispersion "autour" de sa moyenne :

Propriété 4 :    

En conséquence de la propriété 3 et 2 ci-dessus, on a :

♦  Covariance :   

La covariance cov(X,Y) des séries ou variables aléatoires X et Y est la moyenne des produits (X - X)(Y - Y) des écarts à leur moyenne. On peut en donner l'expression suivante (» m3), avec f_i,j = n_i,j /N :

f_i,j = n_i,j /N = Prob[(X,Y) = (x_i, y_j)] = Prob[(X = x_i)  ∩(Y = y_j)]

Autre formule pratique :   

On a f_i,j × (x_i - X)(y_j - Y) = f_i,j × x_iy_j - Yf_i,j × x_i - Xf_i,j × y_j + X × Y × f_i,j. En sommant ces expressions, double sommation dont des éléments sont indépendants de i ou bien de j, on constate que la covariance de X et Y peut s'écrire (» opérateur de sommation), en remarquant que la somme des fréquences f_i,j des couples (x_i, y_j) est égale à 1 :

Ce que l'on peut aussi écrire :

en termes de probabilités et d'espérance mathématique :

cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) : espérance du produit diminué du produit de espérances

En développant cov(X,Y) = XY - X Y, on vérifiera facilement  cette propriété de la covariance :

Propriété 5 :   

cov(aX + b,αY + β) = aα × cov(X,Y)          (p5)

• Noter que, compte tenu de (p1), la covariance de deux séries indépendantes X et Y est nulle.

• On montrera d'ailleurs facilement au moyen de la formule (m5) que l'on a dans tous les cas :

V(X) + V(Y) = V(X) + V(Y) + 2cov(X,Y)       (m6)

Voir aussi une conséquence de (p7) selon laquelle :

cov(X,Y) ≤ σ(X)σ(X)  

♦  Coefficient de corrélation :   

Il s'agit du nombre r = corr(X,Y) défini par :

Cet important paramètre statistique est étudié à la page consacrée à Karl Pearson. Énonçons ici deux importantes propriétés :

Propriété 6 :   

Le coefficient de corrélation est invariant par transformation affine (appliquer p4 et p5) :

corr(aX + b,αY + β) = corr(X,Y)

En particulier, il n'est pas modifié si les lois sont centrées et réduites par les transformations :

Propriété 7 :   

Le coefficient de corrélation vérifie la double inégalité : -1 ≤ r ≤ 1, ou si l'on préfère : | r | ≤ 1.

Preuve : selon p6, on peut se placer dans le cas centré m_X = m_Y = 0. On a r² = cov(X,Y)/[V(X)V(Y)] = E(XY)²/[V(X)V(Y)] = E(XY)²/[E(X²)E(Y²)]. Considérons maintenant E(X + λY)². Ce nombre est non négatif pour tout λ réel. Développons :  λ²E(Y²) + 2λE(XY) + E(X²) ≥ 0 quel que soit λ. Vu que E(Y²) > 0 (sinon Y est nulle), le trinôme en  λ sera positif quel que soit λ si son discriminant réduit E(XY)² - E(X²)E(Y²) est négatif (ou nul). Par suite E(XY)² ≤  E(X²)E(Y²), ce qui montre que l'on a r² ≤ 1, donc  -1 ≤ r ≤ 1.

Ce calcul montre une nouvelle propriété de la covariance :

cov(X,Y) ≤ σ(X)σ(X)

Lien avec le cosinus d'un angle dans un espace vectoriel normé de dimension finie : »

♦  Incidence d'une transformation affine sur les paramètres définis ci-dessus :   

Dans les calculs statistiques (resp. probabilistes), il est courant de "recentrer" un caractère (resp. une variable aléatoire) par rapport à sa moyenne (resp. espérance mathématique) et/ou de ramener ses valeurs dans un intervalle voulu. Pour cela, une transformation de type affine X → aX + b est utilisée.

C'est le cas, par exemple, dans le cas de la loi Laplace-Gauss que l'on ramène à la loi dite normale de moyenne nulle, d'écart-type 1 (loi centrée réduite) par la transformation X→ (X - m)/σ où m est sa moyenne et σ son écart-type, permettant de dresser des tables de distribution de probabilités.

On résume ici les propriétés rencontrées tout au long de cette page :

1. aX + b = aX + b  (linéarité); en termes d'espérance mathématique E(aX + b) =aE(X) + b.

2. V(aX + b) = a²V(X)

3. σ(aX + b) = aσ(X)

4. cov(aX + b,αY + β) = aαcov(X,Y)

5. corr(aX + b,αY + β) = corr(X,Y)

∗∗∗ Exemple d'application
Exercice (modifié) inspiré de Statistique dans l'entreprise,  C. Garnier et B. Guilbaud, Éd. Foucher, 1979.

Dans cet exercice purement didactique où la correction est faite pas à pas, on fait appel aux notions et résultats présentés dans cette page. La seule difficulté réside dans la prudence à observer du fait que les variables sont pondérées. Il faut donc utiliser à bon escient les formules appropriées.

On a relevé sur 100 véhicules, la durée des pneumatiques (exprimée en milliers de km) et la puissance fiscale. En notant X = (x_i) la série des durées des pneumatiques et Y = (y_i) la série des puissances fiscales, on a établi le tableau suivant :

 ➔  Pour en savoir plus :

1. Tout cours Licence mathématiques L2 ou BTS commerciaux, 2è année.
2. Probabilités - Combinatoire - Statistique, par Pierre Louquet et A. Vogt, Éd. Armand Colin, Paris - 1971.
3. La statistique, par André Vessereau, Que sais-je n°281, Éd. P.U.F., Paris, 1988.
4. Histoire de la statistique, par André Vessereau, Que sais-je n°2527, Éd. P.U.F., Paris, 1990.