ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Loi de Pearson : loi du χ2

En toute théorie, la loi du à n degrés de libertés (prononcer khi deux, ainsi baptisée par Pearson) est celle suivie par la somme ΣXi2 lorsque les Xi désignent n lois normales réduites, centrées et indépendantes. Sa densité est donnée par :


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df désigne ici le nombre de degrés de liberté (degrees of freedom)

La représentation graphique de f est une courbe en cloche (illustration empruntée au site StatSoft référencé in fine : tables du ). On démontre que la probabilité que soit inférieur à un réel α (seuil de probabilité) donné positif est :

Γ désigne la non moins célèbre Γ fonction « gamma » de Euler.

Des tables permettant d'évaluer ces probabilités sont à la disposition des statisticiens, et comme il s'agit d'un problème de seuil, elles fournissent généralement non pas Pr( < a) mais plutôt :

Pr( ≥ a) = 1 - Pr( < a)

L'espérance mathématique de la loi du est n, sa variance est n(n + 2).

Genèse et objet de cette loi :

Considérons une variable aléatoire X dont on a observé au cours de n expériences les valeurs x1, x2, ... xr (r < n) avec des fréquences relatives d'apparition : k1/n, k2/n, ... kr/n. Ces valeurs xi ont une probabilité d'apparition théorique pi que l'on espère proche des ki/n.

On recherche alors un critère (un test) qui permettrait, s'il est négatif, d'infirmer cette espérance et, s'il est positif, d'adopter la loi expérimentale avec une probabilité mesurée de vraisemblance (seuil).

Une façon de mesurer les écarts des fréquences relatives par rapport aux probabilités théoriques est de considérer, à la manière de la variance, une somme comme :

Afin de rendre la formule plus maniable dans la recherche d'une loi limite (n tendant vers l'infini : loi du ), Pearson définit le comme étant le nombre :

Dans la pratique : le test du permet de s’assurer de la vraisemblance d’une hypothèse faite sur une population statistique :  le phénomène est observé n fois (n "grand") et il peut se réaliser de r façons, chacune étant binomiale de forme limite assimilable à une loi normale Li (i = 1,2,...r) que l'on peut réduire et centrer :

On a donc :

Ce qui montre que nos lois Li ne sont pas indépendantes ! On démontre alors que le applicable à notre phénomène dépend de r - 1 lois indépendantes : on parle de r - 1 degrés de libertés.

  Y a-t-il vraiment plus de garçons que de filles ?

 Pour en savoir plus :


Lyapunov  Goursat
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