ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Contrôle de vitesse : étude d'une courbe d'effectifs cumulés, histogramme  
   
Voir aussi :  diagramme circulaire et histogramme , statistiques perdues... , courbes d'effectifs cumulés et calcul graphique de la médiane

Un contrôle de vitesse a été effectué sur un tronçon d'autoroute où la vitesse est limitée à 110 km/h. Le nombre de vitesses inférieures à 60 km/h ou supérieures à 180 km/h étant très faible n'a pas été comptabilisé.

La série statistique est représentée ci-dessous par la courbe des effectifs cumulés croissants :

1.   a) Combien de contrôles ont-ils été effectués ?
      b) Établir le tableau statistique comportant les éléments suivants :

  • les classes des vitesses, leurs amplitudes et leurs centres;
  • les effectifs des classes;
  • les effectifs cumulés croissants.

2.   Quel est le pourcentage d'automobilistes en infraction (on arrondira à l'unité) ?

3.   En observant ce zoom du diagramme entre 110 et 130 km/h et le point A d'abscisse 120 dont on estimera son ordonnée sans aucun calcul, que devient ce pourcentage d'automobilistes en infraction si l'on tolère jusqu'à 120 km/h ? (on arrondira le résultat à l'unité).

4.   Construire l'histogramme des effectifs de la série. L'origine sera prise comme ci-dessus en (0,50), on prendra 10 comme amplitude de référence pour évaluer la "hauteur" des rectangles dont on précisera la fréquence correspondante arrondie à l'unité.  On pourra choisir 1 cm pour 10 km/h en abscisse et 1 cm pour 20 automobilistes d'une classe de référence en ordonnée.

5.   Quelle est la classe modale ? Calculer la vitesse moyenne m de cette série (on arrondira le résultat à la dizaine).

6.   Calculer la vitesse V au-dessus de laquelle circulent 50% des automobilistes. à quel paramètre statistique correspond ce nombre ?

7.   Évaluer graphiquement la médiane au vu de l'histogramme des effectifs cumulés.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1.  a) Selon le graphique, 530 contrôles ont été effectués : ce nombre correspond à l'effectif cumulé de la dernière classe.

    b) Tableau : au vu du diagramme, il y a 6 classes. L'effectif d'une classe est obtenu par différence des effectifs cumulés
        indiqués à ses bornes :

classes

amplitudes

centres

effectifs

eff. cumul. croiss.

[60,80[

20
70

32

32

[80,90[

10
85
74

106

[90,100[
10
95
174
280

[100,110[

10
105

170

450

[110,130[

20
120

50

500

[130,180[

50

155

30

530

2.  En théorie, sur ce tronçon d'autoroute, un automobiliste est en infraction si sa vitesse dépasse 110 km/h. 450 roulent en deçà de 110. Leur nombre est donc 530 - 450 = 80, soit, en pourcentage : 80/530, c'est à dire 15% (arrondi de 15,09...).

Dans la pratique, compte tenu des erreurs dues à des réglages erronés des appareils de contrôle (radars automatiques, jumelles laser), la gendarmerie tolère une vitesse de 5km/h en excès pour les limitations de vitesse inférieures à 90 km/h (verbalisation à partir de 96 km/h). Au-delà, 5% de la vitesse relevée est soustraite : ce qui revient à considérer 95% de la vitesse relevée. Pour une limitation à 110, si v est la vitesse relevée, la verbalisation aura lieu si v x 0,95 ≥ 110, donc si v ≥ 115,8, donc à partir de 116 km/h. Pour une limitation à 130, ce serait 137 km/h. Mais chuttt..., c'est un secret !

3.  Sur le diagramme, 1 cm en ordonnée correspond à 50 automobilistes. En x = 120, Le zoom permet d'estimer l'ordonnée de A à 475 (à "mi-chemin" entre  450 et 500. Le nombre d'automobilistes en infraction passe alors à 530 - 475 = 55.

Le pourcentage devient 55 pour 530, c'est à dire 55/530100, soit 10% (arrondi de 10,37...).

4.    Les classes n'ont pas ici la même amplitude. Les aires des rectangles de l'histogramme devant être proportionnelle aux effectifs, la "hauteur" y des rectangles doit être corrigée. Prenons les classes d'amplitude 10 comme référence :

classes
centres
amplitudes
échelle
effectifs
fréquences
(arrondies)
y
[60,80[
70
20
1:2
32
6%
16
[80,90[
85
10
1
74
14%
74
[90,100[
95
10
1
174
33%
174
[100,110[
105
10
1
170
32%
170
[110,130[
120
20
1:2
50
9%
25
[130,180]
155
50
1:5
30
6%
6

Pas de graduation en ordonnée pour un histogramme dont les classes n'ont pas la même amplitude : les "hauteurs" des rectangles n'étant pas proportionnelles aux effectif (et fréquences) !

5.   La classe modale (celle d'effectif maximal) est la classe [90,100[ de centrer 95, d'effectif 174. La moyenne m de la série de relevés est la moyenne pondérée des centres ci des 6 classes :

Arrondie à la dizaine, la valeur moyenne est m = 100 km/h, borne supérieure de la classe modale.

6.   Il s'agit de la vitesse médiane (autant de valeurs observées inférieures que supérieures).

classes
amplitudes
centres
effectifs
eff. cumul. croiss.
[60,80[
20
70
32
32
[80,90[
10
85
74
106
[90,100[
10
95
174
280
[100,110[
10
105
170
450
[110,130[
20
120
50
500
[130,180[
50
155
30
530

On entre dans la classe médiane d'effectif 174, d'amplitude 10 avec un effectif cumulé de 106. De 106 à 265, on a une différence de 159. La médiane est donc :

M = 90 + 10 x 159/174 99,138

On peut estimer la vitesse médiane à 100 km/h.

Notons que l'écart-type est 17,6. L'écart moyen arithmétique est 12,2

7.   On obtient graphiquement la médiane ( cours stat élémentaire) sur le graphique de effectifs cumulés comme abscisse du point d'ordonnée 530/2 = 265 (dans le cas des fréquences cumulées, ce serait d'ordonnée 0,5). Ce qui fournit sensiblement 98, voire 99. On peut ainsi estimer la vitesse médiane à 100 km/h.


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