ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Un exemple de rectification : longueur d'un arc de parabole      

Une intégrale contenant un radical est souvent difficile à calculer : on risque de tomber sur une intégrale elliptique...

Nous calculons la longueur de l'arc de parabole y = x2 lorsque x décrit l'intervalle [0,1]. A priori, cela paraît tranquille... On constatera pourtant que si l'équation de la courbe est simple, il n'en est pas de même de la longueur L d'un de ses arcs. Allons-y :

On a ici y'2 = 4x2 et par suite :

En intégrant par parties, calculons une primitive F de la fonction :

On obtient aisément :

En ajoutant et retranchant 1 au numérateur de l'intégrande, on a :

 

Cette dernière primitive est connue car : son intégrande n'est autre que la fonction dérivée de la fonction réciproque du sinus hyperbolique, à savoir Arg sh x. C'est dire que l'on a :

L'expression de Arg sh x est facilement calculable :

Ainsi, à une constante additive près :

On revient alors à L , avec u = 2x :

Par suite :

L = [ F(2) - F(0)] / 2 = F(2) / 2 = [25 + ln (2+5)] / 4 , soit L = 1,48 à 0,01 près.    ouf !..

Parabole de Neile :  


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