ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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1. On considère une ellipse (E).
Montrer que l'ensemble des points M du plan d'où l'on peut mener deux tangentes perpendiculaires à (E) est un cercle, dit cercle de Monge ou cercle orthoptique de l'ellipse.
Indications :
L'ellipse (E) est considérée dans un repère orthonormé dont l'origine est son centre. Son équation, dite réduite, est alors de la forme : x2/a2 + y2/b2 = 1. On sait que l'équation de la tangente en un point P(xo, yo) de (E) peut s'écrire :
xxo/a2 + yyo/b2 = 1
Mais cette forme n'est pas ici pratique. Le cas des tangentes horizontales (xo = 0) ou verticales (yo = 0) sont triviaux et il est clair que l'ensemble cherché passe par les quatre sommets du rectangle de centre O de côtés a et b. On peut donc supposer maintenant que l'équation des tangentes perpendiculaires passant par un point M(x,y) du plan, extérieur au contour de l'ellipse
est de la forme y = αx + β , α non nul.
L'intersection de (E) et d'une droite conduit à une équation du second degré. En revenant à la définition d'une tangente, le discriminant de l'équation aux abscisses devra être nul, sous la condition y = αx + β :
x2/a2 + (αx + β)2/b2 = 1
En déduire une relation entre
α et β... et en déduire la solution.2. Même question avec, cette fois, une hyperbole (H) d'excentricité e < 2. On expliquera le bien fondé de cette condition.
3. Mais qu'en est-il de la parabole ?
| Solution : |
1. Vous avez certainement trouvé :
En élevant y au carré, et en remarquant que deux tangentes perpendiculaires d'équations respectives y = αx + β et y = α'x + β' vérifient αα' = -1, montrer en étudiant une équation du second degré en α, que :
Vous
en déduirez que l'ensemble cherché est le cercle de
centre O, de rayon 
.
2. Quitte à échanger les rôles de x et de y, on peut supposer, sans aliéner la généralité, que l'équation de l'hyperbole est de la forme :
En procédant de même, on est conduit au cercle de centre O, de rayon (a2 - b2)1/2 sous la condition a2 - b2 > 0 (a > b), qui peut s'écrire 2a2 - b2 > a2 ou encore 2a2 > a2 + b2, soit 2 > (a2 + b2)/a2 : le second membre est le carré de l'excentricité e = c/a avec c2 = a2 + b2). C'est dire que l'on peut mener des tangentes perpendiculaires à l'hyperbole si e < √2 et, plus justement, si 1 < e < √2.
» A ce cercle, il convient d'enlever les quatre points d'intersection avec les asymptotes. Les équations des asymptotes sont y = ± (b/a)x : dire a > b revient à dire que l'asymptote [y = b/a] fait un angle inférieur à 45° sur l'axe des abscisses. Il y a donc des tangentes perpendiculaires si l'angle entre les asymptotes est aigu (dans les quadrants I et IV : x >0). L'hyperbole équilatère (a = b) apparaît comme un cas limite : le seul point d'où l'on peut mener des tangentes perpendiculaires est le centre.
hyperbole x2/2 - y2 = 1
hyperbole x2 - y2/2 = 1 : pas de tangentes perpendiculaires car a < b
3. Si l'on considère une parabole (P) de paramètre p sous la forme y2 = 2px, avec les mêmes notations, l'équation générale des tangentes est de la forme :
La même méthode conduit à l'équation x = -p/2. Ce résultat exprime que l'ensemble cherché n'est autre que la directrice de (P).
Cercle de
Monge (cercle orthoptique)
»
