ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cercle de Monge (cercle orthoptique)      Étude géométrique non analytique

  1.  On considère une ellipse (E).

Montrer que l'ensemble des points M du plan d'où l'on peut mener deux tangentes perpendiculaires à (E) est un cercle, dit cercle de Monge ou cercle orthoptique de l'ellipse.

Indications :       

L'ellipse (E) est considérée dans un repère orthonormé dont l'origine est son centre. Son équation, dite réduite, est alors de la forme : x2/a2 + y2/b2 = 1. On sait que l'équation de la tangente en un point P(xo, yo) de (E) peut s'écrire :

xxo/a2 + yyo/b2 = 1

Mais cette forme n'est pas ici pratique. Le cas des tangentes horizontales (xo = 0) ou verticales (yo = 0) sont triviaux et il est clair que l'ensemble cherché passe par les quatre sommets du rectangle de centre O de côtés a et b. On peut donc supposer maintenant que l'équation des tangentes perpendiculaires passant par un point M(x,y) du plan, extérieur au contour de l'ellipse est de la forme y = αx + β , α non nul.

L'intersection de (E) et d'une droite conduit à une équation du second degré. En revenant à la définition d'une tangente, le discriminant de l'équation aux abscisses devra être nul, sous la condition y = αx + β :

x2/a2 + (αx + β)2/b2 = 1

En déduire une relation entre α et β... et en déduire la solution.

 2.  Même question avec, cette fois, une hyperbole (H) d'excentricité e < 2. On expliquera le bien fondé de cette condition.

 3.  Mais qu'en est-il de la parabole ?

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1.  Vous avez certainement trouvé :

y = αx + β, avec β2 = b2 + a2α2

En élevant y au carré, et en remarquant que deux tangentes perpendiculaires d'équations respectives y = αx + β et y = α'x + β' vérifient αα' = -1, montrer en étudiant une équation du second degré en α, que :

x2 + y2 = a2 + b2

Vous en déduirez que l'ensemble cherché est le cercle de centre O, de rayon .


2.  Quitte à échanger les rôles de x et de y, on peut supposer, sans aliéner la généralité, que l'équation de l'hyperbole est de la forme :

x2/a2 - y2/b2 = 1

En procédant de même, on est conduit au cercle de centre O, de rayon (a2 - b2)1/2 sous la condition a2 - b2 > 0, soit a > b, qui peut s'écrire 2a2 - b2 > a2 , ou encore 2a2 > a2 + b2, soit 2 > (a2 + b2)/a2. Le second membre est le carré de l'excentricité (on pose en général c2 = a2 + b2). C'est dire que l'on peut mener des tangentes perpendiculaires à l'hyperbole si e < 2 et, plus justement, si 1 < e < 2.

    A ce cercle, il convient d'enlever les quatre points d'intersection avec les asymptotes. Les équations des asymptotes sont y = ± (b/a)x : dire a > b revient à dire que l'asymptote [y = b/a] fait un angle inférieur à 45° sur l'axe des abscisses. Il y a donc des tangentes perpendiculaires si l'angle entre les asymptotes est aigu (dans les quadrants I et IV : x >0). L'hyperbole équilatère (a = b) apparaît comme un cas limite : le seul point d'où l'on peut mener des tangentes perpendiculaires est le centre.


hyperbole  x2/2 - y2 = 1


hyperbole  x2 - y2/2 = 1 : pas de tangentes perpendiculaires car a < b


3.  Si l'on considère une parabole (P) de paramètre p sous la forme y2 = 2px, avec les mêmes notations, l'équation générale des tangentes est de la forme :

y = αx + p/2α

La même méthode conduit à l'équation x = -p/2. Ce résultat exprime que l'ensemble cherché n'est autre que la directrice de (P).


Parabole  y2 = 4x , directrice d'équation x = -1
 


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