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Étude d'une ellipse paramétrée    niveau BTS indus/Sup        L'ellipse | Autres cas | Autres courbes

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) d'unité 5 cm, on considère l'ensemble (E) des points M(x,y) définis par l'équation paramétrique :

        (1)

1°) Démontrer que (E) est une ellipse en recherchant :

2°) u désignant un paramètre réel, on se propose d'étudier la courbe plane (C) définie par M(x,y)(C) ssi :

       (2)

a) y est une fonction impaire de u. Que peut-on en déduire dans le but de simplifier l'étude de la courbe ?

b) On suppose désormais que u décrit R+. Etudier les variations de x et y en fonction de u. Calculer les valeurs et limites de x et y aux bornes de l'intervalle d'étude. Préciser les tangentes à (C) aux bornes de l'ensemble d'étude. Dresser le tableau de variations conjoint. Représenter (C) dans un repère orthonormé d'unité 10 cm.

3°) On considère de nouveau l'ensemble (E) et l'équation (1) et on pose u = tan(t/2). Montrer que (E) n'est autre que (C).

On retrouve ici qu'une ellipse, et plus généralement toute conique, admet une représentation unicursale.

4°) Le point d'abscisse - 0,9 semble posséder une ordonnée égale à 0,3. Est-ce bien  le cas ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

        (1)

1°) Les coordonnées x et y sont des fonctions continues et périodiques de t, de période 2π. M(t) = M(t + 2π) : (E) est une courbe fermée; on constate que le changement de t en - t laisse x inchangé mais change y en son opposé : (E) admet l'axe des abscisses (x'x) comme axe de symétrie.

Si (E) est une ellipse, elle admet un centre  Ω situé sur (x'x). Recherchons à quelle condition y s'annule :

y = 0 t = kp x = ±1/(2 ± 1) x = 1/3 ou x = -1

Le centre Ω a donc pour abscisse - 1 + 2/3 = -1/3. Si x = -1/3, on a : cos t = -1/2, ce qui fournit sin t = ± 3/2, soit y = ±1/3.

En conclusion : Si (E) est une ellipse,

Cherchons alors l'existence d'un foyer F(c,0) sur l'axe des abscisses associé à une directrice (d) dont l'équation sera de la forme x = k. Si H est le projeté orthogonal de M(x,y) sur (d), on aura MH2 = (x - k)2 et MF2 = (x - c)2 + y2. Le rapport MF/MH doit être constant et égal à l'excentricité e de (E) avec e < 1/2. Or :

Ce rapport est constant si et seulement si c = 0 et k = 1; auquel cas MF/MH = 1/2 < 1. (E) est donc une ellipse dont un foyer est l'origine O et dont la directrice associée a pour équation x = 1; son excentricité est e = 1/2.

Dans le repère  ( Ω , i, j), O a pour abscisse c = +1/3, l'équation réduite de l'ellipse s'écrit x2/a2 + y2/b2 = 1 avec a2 = b2 + c2. Par conséquent b= 1/3 et l'équation réduite est alors :

9x2 + 12y2 = 4

2°) Étude la courbe paramétrée (C) d'équation :

       (2)

a) Le changement de u en -u change y en -y. La courbe (C) admet donc l'axe des abscisses comme axe de symétrie. Il suffit d'étudier (C) pour u positif.

b) Rappel :   

Nous avons ici :

3°) t décrivant [0,2π], t/2 décrit [0,π], qui est une période de la fonction tangente, donc u décrit R. Au moyen des formules de l'angle moitié, on a sin t = 2u/(1 + u2) et cos t = (1 - u2)/(1 + u2). Ce qui conduit sans difficulté à l'équation (2) : (C) n'est autre que (E).

4°) Lorsque x = - 0,9, on a 1 - u2 = -0,9(3 + u2), soit  u2 = 37 et u = √37. On reporte dans y  = 2u/(3 + u2) = √37 ÷ 20 0,304138... : certes proche de 0,3 mais irrationnel !


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