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Étude d'une ellipse paramétrée    niveau BTS indus/Sup      »   L'ellipse | Autres cas | Autres courbes

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) d'unité 5 cm, on considère l'ensemble (E) des points M(x,y) définis par l'équation paramétrique :

        (1)

1°) Démontrer que (E) est une ellipse en recherchant :

• son centre;

• un foyer et la directrice associée;

• son équation réduite.

2°) u désignant un paramètre réel, on se propose d'étudier la courbe plane (C) définie par M(x,y)∈(C) ssi :

       (2)

a) y est une fonction impaire de u. Que peut-on en déduire dans le but de simplifier l'étude de la courbe ?

b) On suppose désormais que u décrit R⁺. Etudier les variations de x et y en fonction de u. Calculer les valeurs et limites de x et y aux bornes de l'intervalle d'étude. Préciser les tangentes à (C) aux bornes de l'ensemble d'étude. Dresser le tableau de variations conjoint. Représenter (C) dans un repère orthonormé d'unité 10 cm.

3°) On considère de nouveau l'ensemble (E) et l'équation (1) et on pose u = tan(t/2). Montrer que (E) n'est autre que (C).

 ➔   On retrouve ici qu'une ellipse, et plus généralement toute conique, admet une représentation unicursale.

4°) Le point d'abscisse - 0,9 semble posséder une ordonnée égale à 0,3. Est-ce bien  le cas ?

        (1)

1°) Les coordonnées x et y sont des fonctions continues et périodiques de t, de période 2π. M(t) = M(t + 2π) : (E) est une courbe fermée; on constate que le changement de t en - t laisse x inchangé mais change y en son opposé : (E) admet l'axe des abscisses (x'x) comme axe de symétrie.

Si (E) est une ellipse, elle admet un centre  Ω situé sur (x'x). Recherchons à quelle condition y s'annule :

y = 0 ⇔ t = kp ⇔ x = ±1/(2 ± 1) ⇔ x = 1/3 ou x = -1

Le centre Ω a donc pour abscisse - 1 + 2/3 = -1/3. Si x = -1/3, on a : cos t = -1/2, ce qui fournit sin t = ± √3/2, soit y = ±1/√3.

En conclusion : Si (E) est une ellipse,

• son centre est Ω(-1/3;0);

• son demi grand axe mesure a = 2/3 porté par (x'x) : axe focal.

• son demi petit axe mesure b = 1/√3.

Cherchons alors l'existence d'un foyer F(c,0) sur l'axe des abscisses associé à une directrice (d) dont l'équation sera de la forme x = k. Si H est le projeté orthogonal de M(x,y) sur (d), on aura MH² = (x - k)² et MF² = (x - c)² + y². Le rapport MF/MH doit être constant et égal à l'excentricité e de (E) avec e < 1/2. Or :

Ce rapport est constant si et seulement si c = 0 et k = 1; auquel cas MF/MH = 1/2 < 1. (E) est donc une ellipse dont un foyer est l'origine O et dont la directrice associée a pour équation x = 1; son excentricité est e = 1/2.

Dans le repère  ( Ω , i, j), O a pour abscisse c = +1/3, l'équation réduite de l'ellipse s'écrit x²/a² + y²/b² = 1 avec a² = b² + c². Par conséquent b= 1/√3 et l'équation réduite est alors :

9x² + 12y² = 4

2°) Étude la courbe paramétrée (C) d'équation :

       (2)

a) Le changement de u en -u change y en -y. La courbe (C) admet donc l'axe des abscisses comme axe de symétrie. Il suffit d'étudier (C) pour u positif.

b) Rappel :   

• Lorsque x = f(u) et y = g(u) sont des fonctions dérivables du paramètre u, la tangente au point M(x(u_o),y(u_o)) d'une courbe paramétrée a pour équation (x - x_o)g'(u_o) = (y - y_o)f '(u_o);

• Si f '(u) = 0 et g'(u) ≠ 0, la tangente en M est parallèle à (Oy) d'équation x = x_o;

• f '(u) = g'(u) = 0, il s'agit d'un point stationnaire : » points stationnaires d'une courbe paramétrée

• D'une façon générale, le coefficient directeur de la tangente est y'(u)/x'(u) lorsque cette expression a un sens.

Nous avons ici :

• x'(u)= -8u/(3 + u²)² ≤ 0 pour tout u de R⁺ et x' = 0 ssi u = 0. Par conséquent x décroit strictement sur R⁺.

• y'(u) = 2(3 - u²)/(3 + u²)² ≤ 0. Selon le signe du trinôme 3 - u² = (3 - u)(3 + u) sur R⁺, y croit sur [0,√3], passe par un maximum en x = √3 et décroit sur [√3, +∞]. La tangente en ce maximum M(√3,√3/3) est parallèle à (Ox).

• En u = 0, x = 1/3, y = 0; en ce point A(1/3;0), x' = 0 et y' = 2/3 non nul : (C) admet donc une tangente parallèle à (Oy).

• En u = 1, on a x = 0, y = 1/2 : point C.

• Lorsque u tend vers +∞, on a x ~ -u²/u², donc x tend vers -1; y ~ -2u/u² = -2/u; donc y tend vers 0. En ce point B(-1,0), la tangente à (C) est également parallèle à (Oy) car le rapport y'/x' = - (6 - 2u²)/8u = -3/4u + u/4 tend vers l'infini.

3°) t décrivant [0,2π], t/2 décrit [0,π], qui est une période de la fonction tangente, donc u décrit R. Au moyen des formules de l'angle moitié, on a sin t = 2u/(1 + u²) et cos t = (1 - u²)/(1 + u²). Ce qui conduit sans difficulté à l'équation (2) : (C) n'est autre que (E).

4°) Lorsque x = - 0,9, on a 1 - u² = -0,9(3 + u²), soit  u² = 37 et u = √37. On reporte dans y  = 2u/(3 + u²) = √37 ÷ 20 ≅ 0,304138... : certes proche de 0,3 mais irrationnel !