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Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) d'unité 5 cm, on considère l'ensemble (E) des points M(x,y) définis par l'équation paramétrique :
(1)
1°) Démontrer que (E) est une ellipse en recherchant :
son centre;
un foyer et la directrice associée;
son équation réduite.
2°) u désignant un paramètre réel, on se propose d'étudier la courbe plane (C) définie par M(x,y)∈(C) ssi :
(2)
a) y est une fonction impaire de u. Que peut-on en déduire dans le but de simplifier l'étude de la courbe ?
b) On suppose désormais que u décrit R+. Etudier les variations de x et y en fonction de u. Calculer les valeurs et limites de x et y aux bornes de l'intervalle d'étude. Préciser les tangentes à (C) aux bornes de l'ensemble d'étude. Dresser le tableau de variations conjoint. Représenter (C) dans un repère orthonormé d'unité 10 cm.
3°) On considère de nouveau l'ensemble (E) et l'équation (1) et on pose u = tan(t/2). Montrer que (E) n'est autre que (C).
➔ On retrouve ici qu'une ellipse, et plus généralement toute conique, admet une représentation unicursale.
4°) Le point d'abscisse - 0,9 semble posséder une ordonnée égale à 0,3. Est-ce bien le cas ?
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
Solution : |
(1)
1°) Les coordonnées x et y sont des fonctions continues et périodiques de t, de période 2π. M(t) = M(t + 2π) : (E) est une courbe fermée; on constate que le changement de t en - t laisse x inchangé mais change y en son opposé : (E) admet l'axe des abscisses (x'x) comme axe de symétrie.
Si (E) est une ellipse, elle admet un centre Ω situé sur (x'x). Recherchons à quelle condition y s'annule :
y = 0 ⇔ t = kp ⇔ x = ±1/(2 ± 1) ⇔ x = 1/3 ou x = -1
Le centre Ω a donc pour abscisse - 1 + 2/3 = -1/3. Si x = -1/3, on a : cos t = -1/2, ce qui fournit sin t = ± √3/2, soit y = ±1/√3.
En conclusion : Si (E) est une ellipse,
son centre est Ω(-1/3;0);
son demi grand axe mesure a = 2/3 porté par (x'x) : axe focal.
son demi petit axe mesure b = 1/√3.
Cherchons alors l'existence d'un foyer F(c,0) sur l'axe des abscisses associé à une directrice (d) dont l'équation sera de la forme x = k. Si H est le projeté orthogonal de M(x,y) sur (d), on aura MH2 = (x - k)2 et MF2 = (x - c)2 + y2. Le rapport MF/MH doit être constant et égal à l'excentricité e de (E) avec e < 1/2. Or :
Ce rapport est constant si et seulement si c = 0 et k = 1; auquel cas MF/MH = 1/2 < 1. (E) est donc une ellipse dont un foyer est l'origine O et dont la directrice associée a pour équation x = 1; son excentricité est e = 1/2.
Dans le repère ( Ω , i, j), O a pour abscisse c = +1/3, l'équation réduite de l'ellipse s'écrit x2/a2 + y2/b2 = 1 avec a2 = b2 + c2. Par conséquent b= 1/√3 et l'équation réduite est alors :
9x2 + 12y2 = 4
2°) Étude la courbe paramétrée (C) d'équation :
(2)
a) Le changement de u en -u change y en -y. La courbe (C) admet donc l'axe des abscisses comme axe de symétrie. Il suffit d'étudier (C) pour u positif.
b) Rappel :
Lorsque x = f(u) et y = g(u) sont des fonctions dérivables du paramètre u, la tangente au point M(x(uo),y(uo)) d'une courbe paramétrée a pour équation (x - xo)g'(uo) = (y - yo)f '(uo);
Si f '(u) = 0 et g'(u) ≠ 0, la tangente en M est parallèle à (Oy) d'équation x = xo;
f '(u) = g'(u) = 0, il s'agit d'un point stationnaire : » points stationnaires d'une courbe paramétrée
D'une façon générale, le coefficient directeur de la tangente est y'(u)/x'(u) lorsque cette expression a un sens.
Nous avons ici :
x'(u)= -8u/(3 + u2)2 ≤ 0 pour tout u de R+ et x' = 0 ssi u = 0. Par conséquent x décroit strictement sur R+.
y'(u) = 2(3 - u2)/(3 + u2)2 ≤ 0. Selon le signe du trinôme 3 - u2 = (3 - u)(3 + u) sur R+, y croit sur [0,√3], passe par un maximum en x = √3 et décroit sur [√3, +∞]. La tangente en ce maximum M(√3,√3/3) est parallèle à (Ox).
En u = 0, x = 1/3, y = 0; en ce point A(1/3;0), x' = 0 et y' = 2/3 non nul : (C) admet donc une tangente parallèle à (Oy).
En u = 1, on a x = 0, y = 1/2 : point C.
Lorsque u tend vers +∞, on a x ~ -u2/u2, donc x tend vers -1; y ~ -2u/u2 = -2/u; donc y tend vers 0. En ce point B(-1,0), la tangente à (C) est également parallèle à (Oy) car le rapport y'/x' = - (6 - 2u2)/8u = -3/4u + u/4 tend vers l'infini.
3°) t décrivant [0,2π], t/2 décrit [0,π], qui est une période de la fonction tangente, donc u décrit R. Au moyen des formules de l'angle moitié, on a sin t = 2u/(1 + u2) et cos t = (1 - u2)/(1 + u2). Ce qui conduit sans difficulté à l'équation (2) : (C) n'est autre que (E).
4°) Lorsque x = - 0,9, on a 1 - u2 = -0,9(3 + u2), soit u2 = 37 et u = √37. On reporte dans y = 2u/(3 + u2) = √37 ÷ 20 ≅ 0,304138... : certes proche de 0,3 mais irrationnel !