ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Étude d'une ellipse        niveau BTS indus/Sup            cours

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) d'unité 5 cm, on considère l'ensemble (E) des points M(x,y) définis par l'équation paramétrée :

Démontrer que (E) est une ellipse en recherchant :

Si vous séchez après avoir bien cherché :


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Solution :

Les coordonnées x et y sont des fonctions continues et périodiques de t, de période 2π. M(t) = M(t + 2π) : (E) est une courbe fermée; on constate que le changement de t en - t laisse x inchangé mais change y en son opposé : (E) admet l'axe des abscisses (x'x) comme axe de symétrie.

Si (E) est une ellipse, elle admet un centre  Ω situé sur (x'x). Recherchons à quelle condition y s'annule :

y = 0 t = kp x = ±1/(2 ± 1) x = 1/3 ou x = -1

Le centre Ω a donc pour abscisse - 1 + 2/3 = -1/3. Si x = -1/3, on a : cos t = -1/2, ce qui fournit sin t = ± 3/2, soit y = ±1/3.

En conclusion : Si (E) est une ellipse,

Cherchons alors l'existence d'un foyer F(c,0) sur l'axe des abscisses associé à une directrice (d) dont l'équation sera de la forme x = k. Si H est le projeté orthogonal de M(x,y) sur (d), on aura MH2 = (x - k)2 et MF2 = (x - c)2 + y2. Le rapport MF/MH doit être constant et égal à l'excentricité e de (E) avec e < 1/2. Or :

Ce rapport est constant si et seulement si c = 0 et k = 1; auquel cas MF/MH = 1/2 < 1. (E) est donc une ellipse dont un foyer est l'origine O et dont la directrice associée a pour équation x = 1; son excentricité est e = 1/2.

Dans le repère  ( Ω , i, j), O a pour abscisse c = +1/3, l'équation réduite de l'ellipse s'écrit x2/a2 + y2/b2 = 1 avec a2 = b2 + c2. Par conséquent b= 1/3 et l'équation réduite est alors :

9x2 + 12y2 = 4


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