ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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 Génération
d'une ellipse #3 (par son cercle directeur)
» Voir
l'animation» Étude de l'ellipse | génération par affinité de son cercle principal | cas de la parabole | de l'hyperbole |
L'ellipse est générée ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :ainsi générée :
Soit a un nombre réel strictement positif.
Sur une droite, on place deux points A et A' tels que AA' = 2a; on appelle O le milieu de [AA']; on place F sur [OA] et on note F' son symétrique par rapport à O. On a donc FF' < 2a.
Soit (c) le cercle de centre F de rayon 2a;
Soit P un point du cercle (c); on trace [PF] et [PF'].
La médiatrice (t) de [PF'] coupe [PF] en M;
Lorsque P décrit (c), le point M décrit alors une courbe fermée caractérisée par MF + MF' = 2a : c'est l'ellipse de foyers F et F' dont le cercle (c) est le cercle directeur associé à F.
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Java
(»
extension CheerpJ
) :
Déplacer le
point P; Pour effacer
double-cliquez dans la figure.
➔ L'ellipse apparaît également comme enveloppe des droites (t), enveloppe de ses tangentes :
) : On peut vérifier que la droite (t) est effectivement la tangente à l'ellipse (car rien ne le prouve a priori) sachant qu'elle doit être la bissectrice extérieure de l'angle ^F'MF : vu que (t) est la médiatrice de [PF'], (t) est la bissectrice intérieure de l'angle ^PMF'. Traçons la parallèle à (PF') passant par M : elle est perpendiculaire à (t); c'est donc la bissectrice extérieure de ^PMF', donc la bissectrice intérieure ^F'MF.
On retrouve ici un théorème important :
le symétrique d'un foyer par rapport à la tangente est situé sur le cercle directeur de l'autre foyer
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Remarque : |
Avec les notations des figures précédentes, supposons que A' et F' restant fixes, le point O s'éloigne infiniment de F' sur l'axe (AA'). Le point K, symétrique de F' par rapport à A' est fixe. Le rayon du cercle directeur associé à F, symétrique de F' par rapport à O, devient infini et reste tangent en K à l'axe (AA'). Le cercle directeur devient la droite (d) perpendiculaire à (AA') au point K.
L'ensemble des points M devient l'ensemble des cercles passant par F et tangents à (d), c'est à dire la parabole de foyer F' de sommet A', de directrice (d).
