ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Génération d'une ellipse #3    (au moyen de son cercle directeur)
    
Étude de l'ellipse , génération par affinité de son cercle principal , cas de la parabole , de l'hyperbole

Manip. :

L'ellipse est ainsi générée :

Lorsque P décrit (c), le point M décrit alors une courbe fermée caractérisée par MF + MF' = 2a : c'est l'ellipse de foyers F et F' dont le cercle (c) est le cercle directeur associé à F.

L'ellipse apparaît également comme enveloppe des droites (t), enveloppe de ses tangentes :


 Déplacer le point P. Pour effacer double-cliquez sur la figure.

On peut vérifier que la droite (t) est effectivement la tangente à l'ellipse (car rien ne le prouve a priori) sachant qu'elle doit être la bissectrice extérieure de l'angle ^F'MF : vu que (t) est la médiatrice de [PF'], (t) est la bissectrice intérieure de l'angle ^PMF'. Traçons la parallèle à (PF') passant par M : elle est perpendiculaire à (t); c'est donc la bissectrice extérieure de ^PMF', donc la bissectrice intérieure ^F'MF.

On retrouve ici un théorème important :

le symétrique d'un foyer par rapport à la tangente est situé sur le cercle directeur de l'autre foyer

Remarque :

Avec les notations des figures précédentes, supposons que A' et F' restant fixes, le point O s'éloigne infiniment de F' sur l'axe (AA'). Le point K, symétrique de F' par rapport à A' est fixe. Le rayon du cercle directeur associé à F, symétrique de F' par rapport à O, devient infini et reste tangent en K à l'axe (AA'). Le cercle directeur devient la droite (d) perpendiculaire à (AA') au point K.

L'ensemble des points M devient l'ensemble des cercles passant par F et tangents à (d), c'est à dire la parabole de foyer F' de sommet A', de directrice (d).


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