ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Marée et courbe sinusoïdale        sinusoïde

Ce thème est inspiré de "Exercices à support concret, Activités pour la secondes, premières et terminales", IREM Paris - Nord, brochure n°23 à laquelle je participais au siècle dernier  (Nov. 1986)...

La théorie des marées est très complexe. Les eaux s'élèvent et s'abaissent chaque jour à intervalles réguliers avec des amplitudes variables en vertu , d'une part de l'attraction de la Lune et du Soleil, d'autre part de la nature des fonds marins: toutes les 12 h 25', le niveau de la mer monte puis redescend car la Lune passe dans le plan du méridien local toutes les 24 h 50'.

Lorsque la Lune et le Soleil sont alignés d'un même côté de la Terre, on obtient de très fortes marées : marées d'équinoxes (en Mars et Septembre). Les marées sont minimes en Méditerranée (quelques centimètres) alors qu'elles peuvent atteindre plus de 20 mètres dans l'Atlantique (Baie profonde de Fundy au Canada).

Pour illustrer ce phénomène, on a relevé, heure par heure, la hauteur d'eau dans le port français de Saint-Malo. Nous allons montrer que la hauteur d'eau est un phénomène assimilable sur chaque tranche d'environ 24 heures, à une loi périodique sinusoïdale, c'est à dire régie par une fonction de la forme :

h(t) = a.sin(ωt + φ) + b

Représentons le nuage de points en prenant en abscisse les temps exprimés en heures décimales (1/2 cm pour une heure) et en ordonnée les hauteurs d'eau exprimées en mètres (1/2 cm pour un mètre) :

Si le phénomène est régi par la loi indiquée, le minimum est -a + b = 1 (sin = -1) et le maximum a + b = 12,80 (lorsque sin = +1).

La période de t a.sin(ωt + φ) + b est 2π/ω. On calcule alors ω (appelée pulsation) en remarquant que les hauteurs d'eau coïncident au plus bas (1 m quasiment) à 1h et à 13h.

Afin de calculer φ, on remarque que l'on passe de la courbe (C) : t a.sin ωt + b (i.e. φ = 0) à la courbe (C') : t a.sin(ωt + φ) + b par la translation de vecteur V(-φ/ω , 0).

Lorsque t = 1, si φ = 0, a.sin ωt + b vaut 9,85. Par interpolation linéaire (proportionnalité), on calcule l'instant t où l'on retrouve cette même valeur expérimentalement : c'est entre 4 h et 5 h. Le calcul fournit t 4,77. On a donc - φ/ω = 4,8 - 1. Ainsi φ -1,97

La hauteur d'eau est donc mesurée par :

h(t) 5,9.sin(πt/6 - 1,97) + 6,9

Le graphique t h(t) ci-dessous, tracé par ordinateur, coïncide remarquablement avec les mesures relevées.

Bien noter que l'équation trouvée n'est plus valable ultérieurement compte tenu des changements dans la position de la Lune (50' de décalage par jour par rapport au lever précédent) et du Soleil par rapport à la Terre : c'est dire que le phénomène est certes cyclique mais non périodique au sens mathématique précis du terme.

Remarquons enfin, au vu du graphique de th(t), que la marée haute a eu lieu vers 18 h 45 (amplitude 12,8 m) et à 19 h 10 (on retrouve par différence les 12 h 25' dont il a été fait état dans l'explication du phénomène).


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