ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Arrondis & troncature      approche élémentaire         » Calculatrices et problèmes d'arrondis

A l'école et au collège, on parle de valeurs approchées, d'arrondis, de troncatures et d'ordre de grandeur. Tout cela est bien compliqué et pas toujours très clair dans les esprits. Afin d'être compris par les écoliers et sans entrer dans des problèmes d'encadrement et de puissances de 10, choisissons de travailler sur des exemples.

Valeur approchée :     

Comme son nom l'indique, la valeur approchée d'un nombre N est un nombre dont la valeur est proche de N (presque égale à N). On comprend qu'une valeur approchée n'est pas unique : 4,9 et 5,1 sont proches de 5 ! Voyons cela plus précisément :

• La valeur approchée au dixième par défaut de 3,574 est 3,5.

• La valeur approchée au dixième par excès de 3,574 est 3,6. De même pour 3,54.

Règle : Pour une valeur approchée à 0,1 près (au dixième), on étudie le chiffre des centièmes :
de 0 à 4 par défaut : on le supprime; de 5 à 9 : on le supprime en augmentant le chiffre des dixièmes de 1 unité.

Cette règle s'applique de manière semblable pour des valeurs approchées à l'unité, au centième, à la dizaine, etc. :

• La valeur approchée à l'unité par défaut de 3,574 est 3. La valeur approchée à l'unité par excès de 4.
• La valeur approchée à la dizaine par défaut de 2344 est 2340. Par excès ce serait 2350.

Arrondi :     

L'arrondi au dixième (on peut dire aussi à 0,1 près) est la valeur approchée au dixième la plus proche du nombre. Il est incorrect de parler d'un arrondi à 0,1 près par excès (ou par défaut). L'arrondi à la dizaine (resp. à la centaine, etc.) consiste à prendre la valeur approchée à la dizaine (resp. la centaine, etc.) la plus proche.

• L'arrondi au dixième de 3,574 est 3,6. L'arrondi au dixième de 3,547 est 3,5.

• L'arrondi à l'unité de 3,54 est 4. L'arrondi à l'unité de 3,49 est 3; celui de 3,5 est 4.

• L'arrondi au centième de π = 3,1415926539...  est 3,14.

• L'arrondi au dix millième de π = 3,1415926539...  est 3,1416.

• L'arrondi à la dizaine de 357 est 360

∗∗∗
Justifier que l'arrondi de x à 10^-n près est Ent(x x 10ⁿ +0,5)/10ⁿ où Ent désigne la fonction partie entière
» Arrondis et valeurs approchées en JavaScript et sur tableur

Troncature :  

• La troncature consiste à supprimer toutes les décimales non désirées : la troncature à 0,1 près de 3,57 et de 354 est 3,5.

• L'ordre de grandeur de 3,57 est 4 (4 unités). Pour 35,7 ce serait 40. Pour 0,0357, ce serait 0,04 (4 centièmes).

 ➔  l'ordre de grandeur est la valeur obtenue en ne considérant que le nombre arrondi d'unités, dizaines, centaines (suivant la grandeur du nombre). Si celui-ci est plus petit que 1, on considère l'arrondi de son nombre de dixièmes, centièmes ,...

• L'ordre de grandeur de 57 est 60 (arrondi à la dizaine) car 57 étant compris entre 10 et 100, son ordre de grandeur s'exprime en dizaines. De même pour 55 mais celui de 54 est 50.

• L'ordre de grandeur de 357 est 400 car 357 (arrondi à la centaine) étant compris entre 100 et 1000, son ordre de grandeur s'exprime en centaines. Il en est de même de 350. Celui de 349 est 300.

?!? Quel est alors l'ordre de grandeur d'un nombre x + y , xy, x/y, etc. ? Si l'opération n'est pas effectuée, la question n'a guerre de sens si les deux nombres ne se situent pas dans le même ordre de grandeur ! Que dire de 290 x 0,2 ? Pour 331 + 26, on peut répondre approximativement 330 + 30 = 360 et, suivant le problème étudié, conserver ce nombre ou arrondir à 400. Sur le plan théorique, les arrondis effectués par les calculatrices ne sont pas exempts de pièges dommageables... :

Aspect théorique des arrondis "machine" :  »                      Calculs approchés en trigonométrie (niveau 4è/3è) :  »

Programme JavaScript :              »  JacaScript

Le petit programme ci-dessous arrondit à la dizaine un prix donné en euros. Pour 3454,75 ce sera 3450, pour 3455 € ce sera 3450, pour 24,23 ce sera 20. La fonction JavaScript Math.floor(n) retourne la partie entière de n, souvent notée Ent(x) au lycée.

Dès la classe de seconde, on cherchera à comprendre le pourquoi de la formule Math.floor((prix+5)/10)*10 et on pourra modifier ce petit programme en demandant à l'utilisateur le rang voulu de l'arrondi (10^-n près). Si vous séchez, vous pouvez me contacter.