Carré au milieu...

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Carré au milieu... niveau 2nde

On considère un carré ABCD de côté c et les milieux I, J, K, L de ses côtés. En traçant [AK], [BL], [CI] et [DJ], on fait apparaître un quadrilatère EFGH.

1. Explique pourquoi ce quadrilatère est un carré.

Indication : en notant O le centre du carré, on utilisera la rotation de centre O qui transforme A en B en établissant un tableau d'images.

2. Montre que l'aire de EFGH est le 1/5 de celle de ABCD.

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Solution :

1. Les quadrilatères AICK et BJDL sont des parallélogrammes (deux côtés opposés parallèles et de même mesure). Par conséquent (EF) // (HG) et (HE) // (GF) : ee quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

Les diagonales et les médianes du carré ABCD sont des axes de symétrie perpendiculaires; ainsi, la rotation de centre O d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, amène A en B et K en L, donc (AK) ⊥ (BL) :

Le parallélogramme EFGH ayant un angle droit est donc un rectangle.

Par cette même rotation, on peut dresser le tableau d'images :

A	B	C	I	K	L
B	C	D	J	L	I

Donc :

(AK)	(BL)	(CI)
(BL)	(CI)	(DJ)

Dans une rotation, l'image de l'intersection de deux droites est l'intersection des droites images. Par suite, on a :

H	E
E	F

Le rectangle EFGH ayant deux côtés consécutifs de même mesure est donc un carré.

2. Posons x = HE. Dans le triangle ABH, la droite (IE) est parallèle à (AH) et passe par le milieu de [AB], c'est donc une droite des milieux; par suite : BE = EH = x et IE = AH/2. Du tableau d'images, on déduit AH = BE et LH = IE; donc BL = 2,5x = 5x/2. L'application du théorème de Pythagore au triangle rectangle ABL fournit c² + c²/4 = 25x²/4, soit c² = 5x² : c'est bien dire que l'aire de EFGH est le 1/5 de celle de ABCD.

➔ On appelle médianes d'un quadrilatère, les segments joignant (ou les droites passant par) les milieux des côtés. Dans le cas du parallélogramme, elles passent par son centre et dans un rectangle, elles sont perpendiculaires. Ce sont les axes de symétrie du rectangle. Dans un carré, en tant que segments, elles ont, en outre, la même mesure que le côté.