ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une symétrie glissée           niveau TerS/SUP   (mais hors programme TerS)            
          
déplacements & antidéplacements

On considère, dans le plan, la figure ci-dessous :


Vous pouvez déplacer M ainsi que A, B ou C

1. Prouver que AD = EC.

2. Soit f une isométrie transformant A en C, D en E. Prouver que f(B) =A.

3. On suppose de plus que f transforme C en F et on rappelle qu'une application affine est entièrement déterminée par l'image d'un repère affine du plan (donnée d'un triplet de points non alignés).

Soit d la droite des milieux parallèle à (BC) dans le triangle ABC. Montrer que  f = T o Sd  où T est la translation de vecteur ½BC.

On dit que f est une symétrie glissée.

3. Vérifier que  f = Sd o T = T o Sd : décomposition canonique de f.

Si vous séchez après avoir bien cherché :
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1. Bonne petite question niveau 5ème; trivial au niveau TerS/SUP...
 

2. Posons a = DB, b = DA et B' = f(B). Le point D est le barycentre de (A,a) et (B,b), on a donc la relation  a.DA + b.DB = .
La transformation f étant affine, elle conserve le barycentre, d'où : a.EC + b.EB' = .
Or E est le barycentre de (A,EC) et (C,AE) et puisque AE = BD et DA = EC, on a aussi :
a.EC + b.EA= . C'est dire que B' = A (unicité du barycentre).

3. Traçons (d) = (NP) et la médiatrice de [BC]; elle coupe [BC] en son milieu A1. (AF) étant parallèle à (BC), avec les notations ci-contre, B1ABA1 et AC1CA1 sont des rectangles isométriques et on a les égalités vectorielles ½BC = B1A = A1C.

C'est dire que : T
o Sd(A) = T(A1) = C et T o Sd(B) = T(B1) = A.

D'autre part dans le parallélogramme ABCF les triangles isocèles ABC et CFA s'échangent dans la symétrie de centre P, milieu de [AC]; d'où
C1F = ½BC et on a donc T o Sd(C) = T(C1) = F.
T o Sd coïncide donc avec F sur trois points non alignés; par conséquent f = T o Sd.
 

 4. Sd oT(A) = Sd (C1) = C;  Sd oT(B) = Sd (A1) = A.
Notons C
2 = T(C); CC1FC2 est un rectangle et
Sd oT(C) = Sd (C2) = F. On peut donc conclure :

f = T o Sd = Sd oT


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