ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Ellipses de Steiner        niveau Sup           Requis : applications affines et propriétés générales

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

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On demande de prouver comme l'illustre la figure ci-dessous qu'un triangle admet, à l'instar de ses cercles inscrit et circonscrit, une ellipse inscrite tangente intérieurement à ses côtés et une ellipse circonscrite dont les tangentes en A, B et C sont parallèles aux côtés. Le centre commun de ces ellipses, dites de Steiner, étant G, centre de gravité du triangle.

 ➔   Indication : on considérera cette figure comme image par une transformation affine du cas équilatéral...

Si on suppose, dans un 1er temps que le triangle ABC est équilatéral, le cercle inscrit (c) et le cercle circonscrit (C) ont même centre G, centre de gravité du triangle. Le cercle (c) est tangent intérieurement aux côtés du triangle en A', B' et C' milieux des côtés. Le cercle (C) contient les points A", B" et C" symétriques de A, B et C par rapport à G et les parallèles aux côtés en A, B et C sont tangentes à (C).

Plaçons-nous dans le plan affine rapporté au repère affine (A,B,C). Etant donné un triplet (D,E,F) il existe une unique application affine bijective (transformation affine) f telle que f(A) = D, f(B) = E et f(C) = F, donc une seule application affine transformant le triangle équilatéral ABC en un triangle donné DEF.

Par conséquent, ABC étant un triangle quelconque donné, on peut le considérer comme image d'un triangle équilatéral du plan par une application affine. On sait que les transformations affines conservent les rapports de distance (et en particulier les milieux), le parallélisme et les contacts (tangence).

L'expression analytique d'une transformation affine dans un repère du plan est de la forme :

x' = ax + by + c, y' = a'x + b'y + c'     (matriciellement X' = MX)

et sa réciproque est de la même forme (X= M^-1X'. Par suite, l'image d'une courbe du second degré est une courbe du second degré. En particulier, l'image d'un cercle (de rayon non nul) par une transformation affine est une conique non dégénérée. x et y étant bornés, cette conique est une ellipse. On déduit de ces propriétés :

• Le triangle ABC admet une ellipse inscrite tangente intérieurement aux côtés (image du cercle inscrit). La conservation des milieux indique que les points de tangence sont encore les milieux des côtés.

• Le triangle ABC admet une ellipse circonscrite tangente intérieurement aux côtés (image du cercle circonscrit). La conservation des contacts indique que les tangentes en A, B et C sont parallèles aux côtés.

 ➔  Remarquer que l'ellipse circonscrite est l'image de l'ellipse inscrite par l'homothétie de centre G, de rapport 2. Ci-dessous, la figure est un peu complexe mais a le mérite de montrer le cercle inscrit en gris, l'ellipse inscrite en bleu, le cercle circonscrit en rose et l'ellipse circonscrite en rouge.

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