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Ellipses de Steiner      niveau Sup       Requis : application affine et propriétés générale


On demande de prouver comme l'illustre la figure ci-dessous qu'un triangle admet, à l'instar de ses cercle inscrit et circonscrit, une ellipse inscrite tangente intérieurement à ses côtés et une ellipse circonscrite dont les tangentes en A, B et C sont parallèles aux côtés. Le centre commun de ces ellipses, dites de Steiner, étant G, centre de gravité du triangle.

Indication : on considérera cette figure comme image par une transformation affine du cas équilatéral...


Vous pouvez modifier/réduire/agrandir  en déplaçant A , B ou C

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution

Si on suppose, dans un 1er temps que le triangle ABC est équilatéral, le cercle inscrit (c) et le cercle circonscrit (C) ont même centre G, centre de gravité du triangle. Le cercle (c) est tangent intérieurement aux côtés du triangle en A', B' et C' milieux des côtés. Le cercle (C) contient les points A", B" et C" symétriques de A, B et C par rapport à G et les parallèles aux côtés en A, B et C sont tangentes à (C).

Plaçons-nous dans le plan affine rapporté au repère affine (A,B,C). Etant donné un triplet (D,E,F) il existe une unique application affine bijective (transformation affine) f telle que f(A) = D, f(B) = E et f(C) = F, donc une seule application affine transformant le triangle équilatéral ABC en un triangle donné DEF.

Par conséquent, ABC étant un triangle quelconque donné, on peut le considérer comme image d'un triangle équilatéral du plan par une application affine. On sait que les transformations affines conservent les rapports de distance (et en particulier les milieux), le parallélisme et les contacts (tangence).

L'expression analytique d'une transformation affine dans un repère du plan est de la forme x' = ax + by + c, y' = a'x + b'y + c' (matriciellement X' = MX) et sa réciproque est de la même forme (X= M-1X'. Par suite, l'image d'une courbe du second degré est une courbe du second degré. En particulier, l'image d'un cercle (de rayon non nul) par une transformation affine est une conique non dégénérée. x et y étant bornés, cette conique est une ellipse. On déduit de ces propriétés :

Remarquer que l'ellipse circonscrite est l'image de l'ellipse inscrite par l'homothétie de centre G, de rapport 2. Ci-dessous, la figure est un peu complexe mais a le mérite de montrer le cercle inscrit en gris, l'ellipse inscrite en bleu, le cercle circonscrit en rose et l'ellipse circonscrite en rouge.


Vous pouvez déformer en déplaçant A , B ou C et retrouver la configuration équilatérale en constatant que les ellipses deviennent cercles


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