ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Administrateur, membre du parlement cantonal de Zurich, industriel, Johann Rahn s'intéresse à l'arithmétique suite à sa rencontre avec John Pell, ambassadeur du Commonwealth à Zürich.

Dans un traité d'arithmétique et d'algèbre, Teutsche Algebra, édité en 1659, Rahn étudie les nombres de Mersenne et établit une impressionnante liste des diviseurs premiers des entiers jusqu'à 24 000.

On lui doit, dans cet ouvrage, l'usage du signe :

pour exprimer la division, ainsi que l'astérisque ∗ pour la multiplication (en usage aujourd'hui pour désigner cette opération dans les langages informatiques).

 ➔  Le détail des calculs effectuant une division, comme simulé ci-dessus à droite, a connu de nombreuses modifications depuis l'usage des nombres décimaux de Fibonacci à Stevin. Ce n'est que relativement récemment, depuis le Traité d'arithmétique de Bézout (1833) que l'on utilise cette disposition en potence.

» Extrait d'une page de Johann Rahn

Selon D. M. Burton, Pell introduisit la notation en Angleterre dans une traduction anglaise du traité (1668) tout en complétant la table évoquée ci-dessus jusqu'à 100 000. La notation fut adoptée par Wallis.

Dans la notation a    b, a est le dividende et b est le diviseur. Le résultat est le quotient.

la division expliquée à l'école primaire par MM. Royer et Court
(Arithmétique, Ed. A. Colin, 1931)

En Allemagne, outre la notation fractionnaire aujourd'hui usuelle , Leibniz utilisa (1684) les deux points, comme dans 8 : 2 = 4.

Très ambigu eu égard à son usage typographique comme dans une rédaction du type :

2 : 3 = 4 : 6

ce signe, tombé en désuétude est cependant encore bizarrement utilisé de nos jours à l'école et au collège.

Divisions et fractions : »

Quant à la notation a/b (usage du solidus ou slash = barre oblique), c'est De Morgan qui en initia l'usage.

∗∗∗  
Et si on faisait quelques petites divisions... |  Division dite "euclidienne"

 ➔   La notation fractionnaire possède l'avantage principal d'éviter des erreurs d'interprétation lorsque ses termes sont composés. Par exemple ne souffre d'aucune ambiguïté alors que l'écriture 2/x - 3, tout comme 2 ÷ x - 3, nécessite des parenthèses pour exprimer que le diviseur est non pas x seul mais la différence x - 3 :

= 2/(x - 3)

Mais la notation exige, en imprimerie, 3 lignes ! Pour cette raison, la notation / avec usage des parenthèses est encore souvent utilisée lorsqu'elle ne génère pas trop de complications. Un contre-exemple... :

???

∗∗∗  Au fait, ça fait quoi en simplifiant ?... Réponse

Notez que l'on n'échappera pas aux complications des parenthèses dans l'écriture d'un programme informatique, à moins de s'amuser à découper l'expression : écrire (1 + 2/(x - 3))/(5(2 + 1/(1 - x))) revient à écrire, par exemple :

n = 2/(x - 3); n = n + 1;
d = 1/(1 - x);d =5(2 + d);          » usage des ( )
x = n/d;

Pour simplifier, le mathématicien irlandais George G. Stockes préconisa l'emploi de la multiplication implicite de Leibniz pour signifier un produit prioritaire :

• Par exemple 3/4π signifiera 3/(4 × π), alors que 3/4 × π devrait signifier (3/4) × π.

 i  Mais cette pratique, d'ailleurs parfois utilisée dans ChronoMath, est fortement entachée de potentielles erreurs d'interprétation... : A éviter absolument hors d'un contexte sûr !

∗ Teutsche Algebra, extrait emprunté au livre de Florian Cajori ∗

L'auteur pose les questions, puis donne des indications de réponse : Aus D und F das überig finden. Traduction : connaissant D et F trouver le restant (a et b) sachant a + b = D  et ab = F :

Analyse de la page :  

L'art du calcul (arithmétique)

• Les 3 points en triangle ont le sens de par conséquent;

• Les chiffres pointés signifient expression n°;

• La  spirale signifie exposant (puissance) : on élève l'expression 1 au carré;

• L'* désigne la multiplication : l'expression ab = F 2 est équivalente à 4ab = 4F

• Le symbole   suivi du 2 signifie prendre la racine carrée de l'expression indiquée.

Il s'agit donc ici de trouver a et b connaissant leur somme D et leur produit F :

instructions	expr	calculs
expr1 au carré	3	a2 + 2ab + b2 = D2
expr2 multipliée par 4	4	4ab = 4F
expr3 - expr 4 (différence)	5	a2 - 2ab + b2 = D2 - 4F
racine carrée de expr5	6

L'auteur estime dès lors que, connaissant a + b et a - b,  le problème devient trivial... La suite de la page de Rahn se comprend aisément. Les données sont D et G. On remarquera l'usage des symboles ÷ et * et la notation ambiguë 6÷1 + G, dont on a parlé ci-dessus, qui signifie en fait 6 ÷ (1 + G) : » priorités des opérations.

 !   Noter aussi quelques erreurs de l'imprimeur :

• g au lieu de G dans l'expression 6; il faut lire D = b + bG,  puis mettre b en facteur, soit D = b(1 +G);
• le second membre de l'expression 7 est b et non B;
• le second membre de l'expression 8 est a et non A; quant au signe gothique à droite de A... ?
• Et s'il est permis d'être critique à l'égard de Rahn, plutôt que expr1 - 7, il eut été plus simple de faire expr7 * b donne a qui évite la réduction au dénominateur 1 + G de a = D - D/(1 + G).

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Réponse à la question : trois écritures possibles (entre autres ) :

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Brouncker   Viviani

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