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Paradoxe de Cramer
Deux courbes algébriques de degrés respectifs n et p se coupent en au plus np points.

Quelques années avant les travaux de Cramer sur le sujet, l'étude de l'intersection des courbes algébriques fut traité  par Maclaurin qui énonça le résultat ci-dessus. Cramer confirma le résultat en prouvant d'autre part qu'une courbe algébrique de degré n est déterminée par au plus (n2 + 3n)/2 points, ce qui apparaît paradoxal !

En effet, pour n = 3, une courbe est déterminée par 9 points au plus et deux courbes de même degré se coupent en 9 points au plus (Maclaurin). Ces 9 points, qui appartiennent aux deux courbes, ne peuvent caractériser l'une ou l'autre!

Bézout, Euler (sollicité par Cramer) expliqueront ce paradoxe en explicitant les règles de dépendance des points qui définissent les courbes algébriques mais la solution complète sera donnée plus tard par Plücker dans sa théorie des courbes algébriques de 1839.

L'équation d'une courbe algébrique de degré n est de la forme :

Σak,pxkyp = 0 avec k + p n

Par exemple : x3 + 2y2 + x2y + xy - 5 = 0 est une courbe algébrique de degré 3.

Or, pour chaque k (variant de o à n), p peut prendre les valeurs 0, 1,..., n - k. Ce qui fournit :

(n+1) + n + (n- 1) + ... + 1 cas

Il y a ainsi Cn = (n + 1)(n + 2)/2 coefficients ak,p.

C'est dire que pour déterminer une courbe algébrique de degré n, il faudrait se donner au moins Cn points et résoudre alors un système linéaire de Cn équations à Cn inconnues.

Ce système est homogène et par conséquent son déterminant est nul : une des équations (au moins) est liée aux autres. On peut donc se restreindre à la donnée de n - 1 points seulement, donc à Cn - 1 = (n2 + 3n)/2 points.

C'est la formule de Cramer. Trois points suffisent pourtant pour définir un cercle et un seul.

Cas de l'ellipse :

Pour en savoir plus :


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