Trisection aléatoire d'un bâton...

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Trisection aléatoire d'un bâton niveau Sup

Une petite colle concernant les petits problèmes de probabilités qui, l'air de rien, amène à réfléchir à l'instar du paradoxe de Bertrand.

Vous avez un bâton. Vous le coupez au hasard en trois morceaux.
Quelle est la probabilité de pouvoir construire un triangle avec ces morceaux ?

! Un aspect du problème sera de préciser ce que l'on entend par au hasard...

Bonus : on simule ensuite cette trisection au moyen d'un petit programme JavaScript.

Vous avez trouvé 1/4 ? pas mal... et pourquoi pas ln 2 - 1/2...

Si vous séchez après avoir bien cherché : »

Réponse & discussion :

Voici un bâton :

Le voilà coupé en 3 :

Mais, au fait, comment avez-vous fait ?...

Première méthode :

on saisit le bâton en le pinçant au hasard en deux endroits entre le pouce et l'index et on casse.
on obtient ainsi simultanément trois morceaux de longueurs respectives x, y et z.

Afin d'obtenir un triangle (non plat), les inégalités suivantes, dites triangulaires, doivent être vérifiées simultanément :

x < y + z , y < x + z , z < x + y

Afin de simplifier, prenons la longueur du bâton comme unité de mesure. On a z = 1 - x - y et les inégalités ci-dessus conduisent à :

x > 0

y > 0

1 - x - y > 0

x < 1/2

y < 1/2

x + y > 1/2

Les trois premières inégalités régissent l'univers des possibilités; les trois dernières régissent les cas favorables.

C'est un problème de régionnement du plan : dans un repère orthonormé, x joue le rôle des abscisses et y celui des ordonnées; on a tracé les droites d₁ : x + y = 1, d₂ : x + y = 1/2. La probabilité se calcule aisément en termes d'aires : p = 1/4, l'aire jaune correspondant aux cas favorables, l'aire totale (cas possibles) correspondant au demi-carré de côté 1.

Simulation JavaScript de la méthode 1 :

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➔ Afin de tester ce programme, vous devrez simplement entrer le nombre de simulations.
Pour 1 million d'essais, le programme répond

p ≅ 0,250

Rappelons que la fonction Math.random() retourne un nombre aléatoire compris entre 0 et 1.

» fonctions mathématiques usuelles

Seconde méthode :

1. on coupe le bâton en deux au hasard;
2. on choisit au hasard l'un des deux morceaux obtenus et on le coupe en deux au hasard;

♦ Noter que la probabilité de couper le bâton exactement en son milieu à la première coupe doit être considérée comme nulle dans ce problème concret. Mais on peut insérer ce cas dans la méthode ci-dessus en parlant de plus long au sens large et conduisant à un triangle dit plat.

♦ Si, à l'étape 2, on a choisi de conserver le plus grand morceau de longueur x, en recoupant le plus petit au hasard, on obtient deux morceaux de longueur y et z et dans un tel cas la probabilité cherchée est nulle car une des trois inégalités triangulaires n'est pas vérifiée puisque l'on a : x > y + z. Il nous faut donc couper le plus grand et, pour cela, nous avons une chance sur 2.

La solution est plus subtile que précédemment et le résultat inattendu. Étudions-la :

Soit a un nombre compris entre 0 et 1/2; calculons la probabilité de pouvoir construire un triangle sachant que x = a < ½. L'univers des cas possibles est régi par :

x > 0 : réalisé car x = a > 0;
y > 0 et y < 1 - a;
z = 1 - x - y > 0 : réalisé sous la condition ci-dessus.

Nos chances de construction ne dépendant donc que de y; la plage de variation de y étant d'étendue 1 - a. Qu'en est-il alors de nos inégalités triangulaires ? :

x < y + z : réalisé !
y < x + z : y < ½
z < x + y : x + y > ½ ou encore y > ½ - a

Ainsi, la plage de variation pour y (cas favorables) est donc d'étendue a et la probabilité d'obtenir un triangle est alors p_a = a/(1 - a).

Lorsque a varie dans l'intervalle [0;½], on obtient toutes les valeurs possibles de x, également réparties sur cet intervalle, et la probabilité cherchée est alors la valeur moyenne p des p_a : discrétisons les valeurs de x et passons à la limite :
On subdivise [0;½] en n intervalles [x_i,x_i+1]de même étendue : x_i+1- x_i= ½/n = 1/2n = dx_i. La valeur moyenne cherchée est alors :

p = lim_n→∞ 1/n × Σ_[i=o,i=n]x_i/(1 - x_i) = 2 × lim_n→∞ Σ_[i=o,i=n]x_i/(1 - x_i) dx_i

= 2 × ∫_[o,½] x/(1 - x)dx

car on a reconnu ici une somme de Riemann attachée à la fonction x → x/(1 - x) sur l'intervalle [0;1/2].

En remarquant que x/(1 - x) = (x - 1 + 1)/(1 - x) = - 1 + 1/(1 - x), on obtient facilement p = 2 × (- ½ - ln(½)) = 2ln2 - 1.

où ln désigne la fonction logarithme népérien. Sans oublier maintenant de multiplier par ½ car nous n'avons qu'une chance sur 2, comme dit plus haut, de couper le "bon" morceau :

p = ln2 - 0,5 ≅ 0,193

Simulation JavaScript de la méthode 2:

➔ Pour tester ce programme vous devrez simplement entrer le nombre de simulations. Pour 100 000 essais, le programme répond 0,19159. Et pour 1 000 000 , un très beau 0,192904 ≅ ln2 - 0,5.

Rappel : La fonction Math.random() retourne un nombre aléatoire compris entre 0 et 1.

» fonctions mathématiques usuelles dans JavaScript

» La plage de variation de y étant entre 0 et 1 - a = 1 - x, il s'agit d'obtenir y < 1/2 dans le champ de valeurs Math.random()*(1-x). La programmation de la méthode nous conduit alors à une solution en termes d'aires à l'instar de la première méthode, en écrivant :

0 < x < 1/2;
y(1 - x) < 1/2, y variant de 0 à 1;
x + y > 1/2 devient alors x + y(1 - x) >1/2.

Les cas possibles correspondent au carré de côté 1, les cas favorables correspondent à l'aire comprise entre les deux hyperboles d'équation :

sur l'intervalle [0;1/2], c'est à dire l'aire sous la courbe de la fonction :

On retrouve bien l'intégrale précédente.

➔ On trouvera dans la revue Repères des IREM, une étude de ce problème à la fois théorique et pratique (sur tableur) : n° 46 - janvier 2002, Simulation et modélisation par Joëlle Fontana et Maryse Nogues (Irem de Montpellier).