ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

KURATOWSKI Kazimierz, polonais, 1896-1980

Casimir Kuratowski étudia à Varsovie, sa ville natale et obtint son doctorat en 1921 sous la direction de S. Mazurkiewicz (1888-1945), un des mathématiciens fondateurs, avec  Z. Janiszewski (1888-1920) et Sierpinski,  de ce qui fut appelé l'école mathématique polonaise. Nommé à l'École Polytechnique de Lvov (Ukraine, Lviv à l'époque), Kuratowski y rencontre Banach avec lequel il établira une fructueuse collaboration. Il rejoindra l'université de Varsovie en 1934.

Kuratowski est un des fondateurs de la topologie générale (étude d'espaces topologiques abstraits). En théorie des ensembles, dans le cadre des fondements des mathématiques, on lui attribue le théorème dit "de Zorn"  équivalent à l'axiome du choix. On lui doit aussi des résultats en théorie des graphes.

Notions de topologie :             Espaces polonais :             Marczewski (Szpilrajn)

Théorème de Kuratowski (graphes, 1930) :

Un graphe G est planaire si et seulement si il n'admet aucun graphe partiel homéomorphe à K3,3 (graphe des 3 villas) ou K5 (pentagramme), après contraction éventuelle.

Par contraction, on entend le remplacement par une arête de tout sommet relié à G par seulement deux arêtes et homéomorphe a ici le sens topologique de "à un déplacement élastique près".

Graphes planaires :                            exemple d'application

Ci-dessus, les deux types de base de graphes de Kuratowski. On peut ajouter des sommets sur les arêtes en dehors des intersections visibles : par contraction, un tel ajout ne change pas la situation.

Les matrices correspondantes sont ci-dessous M33 (type I) ou M5 (type II) :

On pourra repérer ainsi facilement un graphe non planaire de type I si on peut extraire de sa matrice une sous-matrice du type :

Concernant le type II, la matrice M5 est privée de blocs nuls (graphe complet), on devra alors chercher à la faire coïncider avec une sous-matrice du graphe étudié en la "glissant" le long de la diagonale.


Placer un sommet à une intersection peut tout changer : vérifier par déplacement des sommets que 

le graphe ci-dessous est planaire !

A titre anecdotique, une définition ensembliste rigoureuse d'un couple (x,y) :

On connaît le concept de couple : (x,y) est à distinguer de (y,x) car l'ordre des lettres intervient dans l'écriture contrairement à l'ensemble {x,y} = {x,y}, qualifié de paire. Mais cette définition, à travers le mot "ordre" manque de rigueur mathématique. Kuratowski en donne une définition ensembliste simple (ou presque...) :

(x,y) = {{x},{x,y}}        (on pourrait tout aussi bien considérer choisir {{x,y},{x}})

On a alors (y,x) = {{y},{y,x}} = {{y},{x,y}} (x,y) si x y. Cette définition abstraite fut reprise par Bourbaki (Th. des ensembles, ch. II.2).

Il faut cependant prouver que (x,y) = (x',y') entraîne x = x' et y = y' : supposons {{x},{x,y}} = {{x'},{x',y'}}. Il est déjà assuré que x = x', sinon {x} est distinct de {x'} et l'hypothèse serait en défaut. On est donc en présence de {{x},{x,y}} = {{x},{x,y'}}, ce qui nécessite {x,y} = {x,y'}.


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