ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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KURATOWSKI Kazimierz, polonais, 1896-1980

Casimir Kuratowski étudia à Varsovie, sa ville natale et obtint son doctorat en 1921 sous la direction de Stephan Mazurkiewicz (1888-1945), un des mathématiciens fondateurs, avec  Zygmunt Janiszewski (1888-1920) et Waclaw Sierpinski,  de ce qui fut appelé l'école mathématique polonaise.

Nommé à l'École Polytechnique de Lvov (Ukraine, Lviv à l'époque), Kuratowski y rencontre Banach avec lequel il établira une fructueuse collaboration. Il rejoindra l'université de Varsovie en 1934.

Kuratowski est un des fondateurs de la topologie générale (étude d'espaces topologiques abstraits). En théorie des ensembles, dans le cadre des fondements des mathématiques, on lui attribue le théorème dit "de Zorn" équivalent à l'axiome du choix. On lui doit aussi des résultats en théorie des graphes.

Notions de topologie : »        Espaces polonais : »            » Szpilrajn, alias Marczewski | Knaster

Théorème de Kuratowski (théorie des graphes, 1930) :

Un graphe G est planaire si et seulement si il n'admet aucun graphe partiel homéomorphe à K3,3 (graphe des 3 villas) ou K5 (pentagramme à droite ci-dessous), après contraction éventuelle.

La notion de graphe planaire : »

 ➔   Par contraction, on entend le remplacement par une arête de tout sommet relié à G par seulement deux arêtes et homéomorphe a ici le sens topologique de "à un déplacement élastique près".

Ci-dessus, les deux types de base de graphes de Kuratowski. On peut ajouter des sommets sur les arêtes en dehors des intersections visibles : par contraction, un tel ajout ne change pas la situation.

Les matrices correspondantes sont ci-dessous M33 (type I) ou M5 (type II) :

On pourra repérer ainsi facilement un graphe non planaire de type I si on peut extraire de sa matrice une sous-matrice du type :

Concernant le type II, la matrice M5 est privée de blocs nuls (graphe complet), on devra alors chercher à la faire coïncider avec une sous-matrice du graphe étudié en la "glissant" le long de la diagonale.

 ➔  Un graphe d'apparence non planaire peut le devenir par simple déplacement des sommets : placer un sommet à une intersection peut en effet tout changer. La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Vérifier par déplacement des sommets que  le graphe ci-dessous est planaire ! Solution en cliquant sur l'ampoule ☼

∗∗∗  exemple d'application | K5 est-il planaire ?

A titre anecdotique, une définition ensembliste rigoureuse d'un couple (x,y) :

On connaît le concept de couple : (x,y) est à distinguer de (y,x) car l'ordre des lettres intervient dans l'écriture contrairement à l'ensemble {x,y} = {x,y}, qualifié de paire. Mais cette définition, à travers le mot "ordre" manque de rigueur mathématique. Kuratowski en donne une définition ensembliste simple (ou presque...) :

(x,y) = {{x},{x,y}}        (on pourrait tout aussi bien considérer choisir {{x,y},{x}})

On a alors (y,x) = {{y},{y,x}} = {{y},{x,y}} ≠ (x,y) si x ≠ y. Cette définition abstraite fut reprise par Bourbaki (Th. des ensembles, ch. II.2).

» Il faut cependant prouver que (x,y) = (x',y') entraîne x = x' et y = y' : supposons {{x},{x,y}} = {{x'},{x',y'}}. Il est déjà assuré que x = x', sinon {x} est distinct de {x'} et l'hypothèse serait en défaut. On est donc en présence de {{x},{x,y}} = {{x},{x,y'}}, ce qui nécessite {x,y} = {x,y'}.

 ➔   Pour en savoir plus :

Alexandrov  Siegel
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