ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Anneau de Boole            Problème niveau Sup
     
Algèbre de Boole , Algèbre de Boole et structure d'anneau

On considère un anneau A dont l'addition (loi de groupe) et la multiplication sont respectivement notées et . On note 0 l'élément neutre de l'addition (élément nul de A). L'anneau A est supposé unitaire : la multiplication admet un élément unité 1 : xA, x 1 = 1 x = x.

On dit que l'anneau A est un anneau de Boole, pour exprimer que tout élément x de A est idempotent pour la multiplication :

xA, x x = x

On notera  (A,,,0,1) un tel anneau.

Théorème 1 :  

Dans un anneau de Boole (A,,,0,1), tout élément est son propre symétrique pour l'addition : x x = 0. En d'autres termes, tout élément est involutif pour l'addition.

Preuve : Calculons (x x) (x x)  de deux façons. D'une part : (x x) (x x) = x x par idempotence de . D'autre part, par distributivité : (x x) (x x) = (x x) (x x) (x x) (x x) = x x x x =  (x x) (x x). Donc (x x) (x x) = x x. Or (A,) est un groupe abélien, donc tout élément est régulier (simplifiable) : il suit que x x = 0.   CQFD

 Donc si un anneau de Boole A n'est pas réduit à {0}, sa caractéristique est 2. Mais la réciproque est fausse :

Théorème 2 :  

Tout anneau de Boole est commutatif (pour exprimer que la loi est commutative)

Preuve : Calculons de deux façons le produit (x y) (x y). D'une part c'est x y par idempotence de la loi . D'autre part, en utilisant la distributivité, on aura x y = (x x) (x y) (y x)   (y y) = x (x y) (y x) y. Dans (A,), groupe abélien, tout élément est régulier (simplifiable) et finalement (x y) (y x) = 0. c'est dire que y x est le symétrique de x y et comme tout élément est involutif dans (A,), on a y x = x y.   CQFD

  On peut montrer que tout anneau de Boole peut être muni de la structure d'algèbre de Boole et, inversement, une algèbre de Boole peut être munie d'une structure d'anneau commutatif unitaire :

Anneau de Boole, algèbre de Boole et structure d'anneau :

Un exemple relativement simple d'anneau de Boole :

On sait que l'ensemble des parties d'un ensemble E est une algèbre de Boole. On peut construire un anneau de Boole sur (E) de la façon suivante :

Pour toutes parties A et B de E, on  pose A - B = {xA, x B } = A B, B désignant le complémentaire de B dans E. On appelle différence symétrique de A et B et on note Δ la loi de composition définie dans (E) par :

A Δ B = (A - B) (B - A)         De morgan

a/ Cette loi est clairement commutative. Montrer, en faisant un dessin patatoïdal, que la loi Δ est associative.
b/ Montrer que l'intersection (loi ) est distributive sur (par rapport à) la loi Δ.
c/ Montrer que ((E), Δ) est un groupe commutatif et que ((E), Δ, ) est un anneau de Boole.


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