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Anneau de Boole
     
» Algèbre de Boole | Algèbre de Boole et structure d'anneau

On considère un anneau unitaire A dont l'addition (loi de groupe) et la multiplication sont respectivement notées et . On note 0 l'élément neutre de l'addition (élément nul de A). L'élément unité est noté 1 : ∀x∈A, x 1 = 1 x = x.

On dit que l'anneau A est un anneau de Boole, pour exprimer que tout élément x de A est idempotent pour la multiplication :

∀x∈A, x x = x

On notera  (A,,,0,1) un tel anneau.

Théorème 1 :  

Dans un anneau de Boole (A,,,0,1), tout élément est son propre symétrique pour l'addition : x x = 0. En d'autres termes, tout élément est involutif pour l'addition.

Preuve : Calculons (x ⊕ x) ⊗ (x ⊕ x)  de deux façons. D'une part : (x ⊕ x) ⊗ (x ⊕ x) = x ⊕ x par idempotence de ⊗. D'autre part, par distributivité : (x ⊕ x) ⊗ (x ⊕ x) = (x ⊗ x) ⊕ (x ⊗ x) ⊕ (x ⊗ x) ⊕ (x ⊗ x) = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x =  (x ⊕ x) ⊕ (x ⊕ x). Donc (x ⊕ x) ⊕ (x ⊕ x) = x ⊕ x. Or (A,⊕) est un groupe abélien, donc tout élément est régulier (simplifiable) : il suit que x ⊕ x = 0.   CQFD

Corollaire :  

Si un anneau de Boole A n'est pas réduit à {0}, sa caractéristique est 2

 !  Réciproque est fausse :

Théorème 2 :  

Tout anneau de Boole est commutatif (pour exprimer que la loi est commutative)

Preuve : Calculons de deux façons le produit (x ⊕ y) ⊗ (x ⊕ y). D'une part c'est x ⊕ y par idempotence de la loi ⊗. D'autre part, en utilisant la distributivité, on aura x ⊕ y = (x ⊗ x) ⊕ (x ⊗ y) ⊕ (y ⊗ x) ⊕  (y ⊗ y) = x ⊕ (x ⊗ y) ⊕ (y ⊗ x) ⊕ y. Dans (A,⊕), groupe abélien, tout élément est régulier (simplifiable) et finalement (x ⊗ y) ⊕ (y ⊗ x) = 0. c'est dire que y ⊗ x est le symétrique de x ⊗ y et comme tout élément est involutif dans (A,⊕), on a y ⊗ x = x ⊗ y.   CQFD

    On peut montrer que tout anneau de Boole peut être muni de la structure d'algèbre de Boole et, inversement, une algèbre de Boole peut être munie d'une structure d'anneau commutatif unitaire :

Anneau de Boole, algèbre de Boole et structure d'anneau : »

Différence ensembliste et exemple d'anneau de Boole :

Pour toutes parties A et B de E, on  pose A - B = {x∈A, x ∉ B } = A∩B, B désigne le complémentaire de B dans E. A - B se lit A moins B, différence (ensembliste) de A à B, que l'on note aussi A\B. On distinguera A - B de B - A.

On sait que l'ensemble P(E) des parties d'un ensemble E est une algèbre de Boole. On peut construire un anneau de Boole dans P(E) de la façon suivante : on appelle différence symétrique de A et B et on note Δ la loi de composition définie dans P(E) par :

A Δ B = (A - B)∪(B - A) 

A Δ B est ainsi l'ensemble des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B, mais pas aux deux à la fois (leur intersection). On pourra montrer que :

a/ cette loi est commutative et associative (dans ce second cas faire un dessin patatoïdal;
b/ (P(E), Δ) est un groupe commutatif;
c/ (P(E), Δ,∩) est un anneau de Boole.

»  De Morgan , Venn            Théorie des ensembles de Cantor :  »


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