ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Anneau
de
Boole» Algèbre de Boole | Algèbre de Boole et structure d'anneau |
On considère un anneau unitaire A dont l'addition (loi de groupe) et la multiplication sont respectivement notées ⊕ et ⊗. On note 0 l'élément neutre de l'addition (élément nul de A). L'élément unité est noté 1 : ∀x∈A, x ⊗ 1 = 1 ⊗ x = x.
On dit que l'anneau A est un anneau de Boole, pour exprimer que tout élément x de A est idempotent pour la multiplication :
On notera (A,⊕,⊗,0,1) un tel anneau.
Théorème 1 :
Dans un anneau de Boole (A,⊕,
,0,1), tout
élément est son propre symétrique pour
l'addition : x
⊕
x = 0. En d'autres termes, tout élément est
involutif
pour l'addition.
Preuve : Calculons (x ⊕ x) ⊗ (x ⊕ x) de deux façons. D'une part : (x ⊕ x) ⊗ (x ⊕ x) = x ⊕ x par idempotence de ⊗. D'autre part, par distributivité : (x ⊕ x) ⊗ (x ⊕ x) = (x ⊗ x) ⊕ (x ⊗ x) ⊕ (x ⊗ x) ⊕ (x ⊗ x) = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x = (x ⊕ x) ⊕ (x ⊕ x). Donc (x ⊕ x) ⊕ (x ⊕ x) = x ⊕ x. Or (A,⊕) est un groupe abélien, donc tout élément est régulier (simplifiable) : il suit que x ⊕ x = 0. CQFD
Corollaire :
Si un anneau de Boole A n'est pas réduit à {0}, sa caractéristique est 2
! Réciproque est fausse :
K = Z/2Z est un corps puisque 2 est premier (» anneau Z/nZ). Considérer alors l'anneau unitaire M2(K) des matrices carrées d'ordre 2 dont les termes sont éléments de K; sa caractéristique est 2 mais la multiplication n'est pas idempotente; ce n'est donc pas un anneau de Boole car on a en particulier :
Théorème 2 :
Tout anneau de Boole est
commutatif (pour exprimer que la loi
est commutative)
Preuve : Calculons de deux façons le produit (x ⊕ y) ⊗ (x ⊕ y). D'une part c'est x ⊕ y par idempotence de la loi ⊗. D'autre part, en utilisant la distributivité, on aura x ⊕ y = (x ⊗ x) ⊕ (x ⊗ y) ⊕ (y ⊗ x) ⊕ (y ⊗ y) = x ⊕ (x ⊗ y) ⊕ (y ⊗ x) ⊕ y. Dans (A,⊕), groupe abélien, tout élément est régulier (simplifiable) et finalement (x ⊗ y) ⊕ (y ⊗ x) = 0. c'est dire que y ⊗ x est le symétrique de x ⊗ y et comme tout élément est involutif dans (A,⊕), on a y ⊗ x = x ⊗ y. CQFD
➔ On peut montrer que tout anneau de Boole peut être muni de la structure d'algèbre de Boole et, inversement, une algèbre de Boole peut être munie d'une structure d'anneau commutatif unitaire :
Anneau de Boole, algèbre de Boole et structure d'anneau : »
|
Différence ensembliste et exemple d'anneau de Boole : |
Pour toutes parties A et B de E, on pose A - B = {x∈A, x ∉ B } = A∩B, où B désigne le complémentaire de B dans E. A - B se lit A moins B, différence (ensembliste) de A à B, que l'on note aussi A\B. On distinguera A - B de B - A.
Dans le cas numérique, en posant par a Δ b = | a - b |, on définit la différence symétrique de deux nombres. C'est une loi de composition commutative où 0 est neutre et tout élément est son propre symétrique. Contrairement à la réunion (∪) et à l'intersection (∩) des ensembles, elle est non associative : considérer (1 Δ 2) Δ 3 et 1 Δ (2 Δ 3).
On sait que l'ensemble P(E) des parties d'un ensemble E est une algèbre de Boole. On peut construire un anneau de Boole dans P(E) de la façon suivante : on appelle différence symétrique de A et B et on note Δ la loi de composition définie dans P(E) par :
A Δ B = (A - B)∪(B - A)
A Δ B est ainsi l'ensemble des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B, mais pas aux deux à la fois (leur intersection). On pourra montrer que :
a/
cette loi est commutative et
associative (dans ce second cas faire un dessin
patatoïdal;
b/ (P(E),
Δ)
est un groupe commutatif;
c/ (P(E),
Δ,∩)
est un anneau de
Boole.
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