ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La cuve d'un camion citerne semi-remorque, venant tout juste de passer le contrôle technique, est constituée d'un cylindre et de deux extrémités hémisphériques (demi-sphères).

L'objet du problème est d'exprimer la contenance (volume exprimé en litres) de la cuve en fonction de la hauteur du liquide qu'elle contient.

Cette contenance s'évalue au moyen d'une jauge :  tige métallique graduée que l'on plonge dans la cuve par une des ouvertures supérieures.

Le problème n'est pas simple !

 ➔   Si la cuve est rectangulaire (pavé droit), le problème est simple : V = a × b x h : le volume restant dans la citerne est directement proportionnelle à la hauteur du liquide. Très facile à graduer !

Notre problème est ici beaucoup plus complexe à cause des formes hémisphériques (demi-sphères) des extrémités.

Notons :

• R le rayon de la partie cylindrique qui est également celui des demi-sphères;

• L la longueur de la partie cylindrique;

• h la hauteur du liquide.

Considérons la partie cylindrique vue en coupe. notons x l'angle ^AOB, exprimé en radians.

L'aire du secteur plan OAB est xR²/2. Donc l'aire de la partie "remplie" (en rose) est :

xR²/2 - AB × (R - h)/2

Mais :

• AB = 2Rsin(x/2);
• h = R - Rcos(x/2) = R[1 - cos(x/2)].

De plus, sin x = 2sin(x/2)cos(x/2). Donc l'aire de la partie "remplie" est, tous calculs faits : 

R²(x - sin x)/2

Le volume de la partie cylindrique est donc 

V₁ = LR²(x - sin x)/2

» la formule est valable pour x variant de 0 à 2π donc pour h variant de 0 à 2R.

Pour la partie sphérique, par symétrie, on a une calotte sphérique entière :

En appelant toujours h la hauteur de liquide,  le volume de la calotte sphérique est :

V₂ = πh²(R - h/3)  (formule valable pour h variant de 0 à 2R)

Le volume total est alors V = V₁ + V₂ :

V = LR²(x - sin x)/2 + πh²(R - h/3)

Ainsi, h étant mesuré, l'égalité h = R[1 - cos(x/2)] permet de calculer x, puis le volume V cherché.

Vérifications :

• si h= 2R, la cuve est pleine. On doit trouver le volume du cylindre augmenté du volume d'une sphère de rayon R, soit : πR²L + 4πR³/3; ce que l'on vérifie car dans ce cas x = 2π.

• si h = R, la cuve est à moitié pleine. On a x = π et V = πR²L/2 + 2πR³/3 : c'est la demi-capacité.

Exemple : 

• Supposons R = 1 m, L = 2 m et h = 60 cm = 0,6m.

On calcule d'abord x en radians : 0,6 = 1 - cos(x/2). Donc cos(x/2) = 0,4. La calculatrice fournit x/2 puis x = 2,32 rad. Donc x - sin x = 1,585..., ce qui fournit V = 2,6 m³, soit 2600 litres.

 ➔   x/2 est compris entre 0 et π, on peut alors écrire, en utilisant la fonction Arc cosinus (Acs) :

• x/2 = Acs(1 - h/R), soit : x = 2Acs(1 - h/R)
• sin x = 2sin(x/2)cos(x/2) = 2sin(x/2)cos(Acs(1 - h/R)) = 2sin(x/2) × (1 - h/R).
• D'où, avec les seules données h, R et L,  mais ce n'est pas très simple... :

V = LR²(Acs(1 - h/R) - (1 - h/R)sin[Acs(1 - h/R)])+ πh²(R - h/3)

et on peut encore vérifier avec h = R et h = 2R...