ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Camion citerne       TD niveau 1èS à BTS industriel

La cuve d'un camion citerne semi-remorque, venant tout juste de passer le contrôle technique, est constituée d'un cylindre et de deux extrémités hémisphériques (demi-sphères).

L'objet du problème est d'exprimer la contenance (volume exprimé en litres) de la cuve en fonction de la hauteur du liquide qu'elle contient.

Cette contenance s'évalue au moyen d'une jauge :  tige métallique graduée que l'on plonge dans la cuve par une des ouvertures supérieures.

Le problème n'est pas simple !

Si la cuve est rectangulaire (pavé droit), le problème est simple : V = a x b x h : le volume restant dans la citerne est directement proportionnelle à la hauteur du liquide. Très facile à graduer !

Notre problème est ici beaucoup plus complexe à cause des formes hémisphériques (demi-sphères) des extrémités.

Notons :

Considérons la partie cylindrique vue en coupe. notons x l'angle ^AOB, exprimé en radians.

L'aire du secteur plan OAB est xR2/2. Donc l'aire de la partie "remplie" (en rose) est :

xR2/2 - AB × (R - h)/2

Mais :

 AB = 2Rsin(x/2);

 h = R - Rcos(x/2) = R[1 - cos(x/2)].

De plus, sin x = 2sin(x/2)cos(x/2). Donc l'aire de la partie "remplie" est, tous calculs faits : 

R2(x - sin x)/2

Le volume de la partie cylindrique est donc 

V1 = LR2(x - sin x)/2

la formule est valable pour x variant de 0 à 2π donc pour h variant de 0 à 2R.

  Pour la partie sphérique, par symétrie, on a une calotte sphérique entière :

En appelant toujours h la hauteur de liquide,  le volume de la calotte sphérique est :

V2 = πh2(R - h/3)  (formule valable pour h variant de 0 à 2R)

Le volume total est alors V = V1 + V2 :

V = LR2(x - sin x)/2 + πh2(R - h/3)

Ainsi, h étant mesuré, l'égalité h = R[1 - cos(x/2)] permet de calculer x, puis le volume V cherché.


Vérifications :

Exemple : 

On calcule d'abord x en radians : 0,6 = 1 - cos(x/2). Donc cos(x/2) = 0,4. La calculatrice fournit x/2 puis x = 2,32 rad. Donc x - sin x = 1,585..., ce qui fournit V = 2,6 m3, soit 2600 litres.

x/2 est compris entre 0 et π, on peut alors écrire, en utilisant la fonction Arc cosinus (Acs) :

V = LR2(Acs(1 - h/R) - (1 - h/R)sin[Acs(1 - h/R)])+ πh2(R - h/3)

et on peut encore vérifier avec h = R et h = 2R...


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