ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Le réchauffement, un phénomène exponentiel  #1      » #2a , #2b , #3 , #4 , #5       »  Différentielle , Équations différentielles    Exo/TD niveau TerES/S

Un grand nombre de phénomènes naturels ou socio-économiques sont régis par des lois exponentielles de type t → a^αt (a > 0, α paramètre réel). Ces cas sont ceux pour lesquels on constate que la variation d'une caractéristique C est, pour un court laps de temps Δt, proportionnelle au temps (facteur k) et à la valeur de C au moment considéré :

On montre alors, en classe terminale, que C est une fonction exponentielle du type t → C_oe^k(t-to) où C_o désigne la valeur initiale de C au temps t_o, et e la base des logarithmes népériens : e ≅ 2,717281828... la fonction x → e^x est la plus rencontrée des fonctions exponentielles. Elle est présente sur toutes les calculatrices avec sa réciproque x → ln x, appelée logarithme népérien.

Voici une illustration expérimentale de la présence de l'exponentielle dans un phénomène naturel :

Préparons un chronomètre ou une bonne vieille montre avec aiguille des secondes, une feuille de papier et un crayon et sortons du congélateur un thermomètre (de bonne qualité) de congélation.

L'expérience (réelle et sans trucages) a donné les résultats du tableau ci-dessous par un chaud après-midi d'été : température ambiante 29,5 °C. Le chrono démarre au temps t = 0 pour une température de sortie de -18°C. Les températures, exprimées en degrés Celsius, sont affichées en regard du temps écoulé pour les obtenir (en minutes et secondes) :

• Convertissons les temps en secondes et représentons le nuage de points M(t, T), t désignant le temps et T la température en prenant 1 cm en abscisse pour 60" (ou 80" comme ci-après) et 1 cm en ordonnée pour 5° C.

• On constate une courbe régulière sauf au voisinage de T = 0°C ou le thermomètre semble avoir eu une légère dépression... :

Si cette courbe est régie par une équation de type exponentiel, T sera une fonction du temps t de la forme :

Pourquoi la présence de cette constante additive b ? Interprétons les coefficients :

• k doit être négatif, sinon la température deviendrait infiniment grande pour t infini. Ainsi pour t infini, T tend vers b : donc b est la température ambiante au moment de l'expérience.

• En conséquence a + b est la température initiale au temps t = 0 (soit ici -18° C).

 ➔  Bien voir que la présence de b n'altère en rien l'aspect exponentiel du phénomène car les courbes t → a.ekt et t → a.ekt + b sont isométriques via la translation M(x,y) → M(x,y + b).

Le nuage de points sera ajusté au moyen de 3 points : il y a 3 paramètres, il nous faut 3 équations.

On choisit les données extrêmes :

• T = -18°, T = 27°

et une donnée médiane :

• Lorsque T = 27°, on a t = 770" et on constate que si t = 386", on a t = 18°. En trichant d'une seconde soit t = 385, moitié de 770, on obtiendra un système d'équations simple en posant X = e^385k et par là : X² = e^770k.

Dans ces conditions, le système cherché est défini par :

a + b = -18
aX + b = 18
aX² + b = 27
X = e^385k

On fait apparaître apparaître a(X - 1) grâce au 3 premières équations. On a alors immédiatement X + 1 = 1,25, d'où X puis k en passant au logarithme népérien dans l'équation 4 :

et on montre facilement que la température T est régie, en fonction du temps, par :

 ➔   La courbe obtenue ajuste parfaitement le nuage. L'imperfection au niveau de 0°C s'explique par un phénomène de dégel autour du thermomètre (l'enveloppe des cristaux de glace autour du thermomètre altère le phénomène du réchauffement continu au moment du passage de l'état solide à l'état liquide) :

Remarquer la valeur de b qui exprime la température ambiante calculée : elle est exacte au demi degré près! L'expérience est garantie sans trucage. Tentez l'expérience !..