ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Ce petit exercice résolu, très schématique, tend à montrer le lien étroit entre suite géométrique (forme fonctionnelle xⁿ) et exponentielle (forme fonctionnelle e^x) dont l'aspect théorique est exposé en SuiteGéo&Expo.

Le système de refroidissement par eau d'une machine est constitué d'un circuit de contenance 20 litres, rafraîchi en de multiples points par un courant d'eau froide à 16° C dès que l'eau dans le circuit atteint 80° C.

Il entre très rapidement autant d'eau qu'il n'en sort à raison de 2 litres par seconde et le grand nombre de points de rafraîchissement permet de considérer que, toutes les secondes, 18 litres du circuit sont mélangés de façon homogène à 2 litres d'eau froide (même température en chaque endroit du circuit).

On considère comme négligeable l'apport de chaleur dans le circuit dû au fonctionnement de la machine pendant le rafraîchissement. Combien de temps, exprimé en secondes, faudra-t-il pour que la température de l'eau du circuit tombe à 40° C ?

 ➔  La température dans le circuit sera vasée sur la moyenne des températures pondérées par les quantités correspondantes, un résultat barycentrique intuitif selon lequel x litres d'eau chauffés à u° degrés ajoutés et (bien) mélangés à y litres à v°, font, exprimés en °C, x + y litres à :

Par exemple :

• 1 litre d'eau à 100° mélangé à 1 litre d'eau à 50° feront 2 litres d'eau à 75° : (1 × 100 + 1 × 50)/(1 + 1) = 75;
• 12 litres d'eau à 70° mélangés à 5 litres d'eau à 30° feront 15 litres d'eau à 66° : (12 × 70 + 5 × 30)/15 = 66°.

L'unité de temps est la seconde, le temps est un nombre entier n. On note t_n la température du circuit au bout de n secondes de rafraîchissement. Nous avons (les hypothèses nous amènent à...) :

 10t_n+1 = 9t_n + 16 , t_o = 80

On voit ainsi que si la suite (t_n) converge, cette limite est manifestement 16. Ce qui est tout à fait logique, mais il faudra attendre longtemps...

Posons maintenant u_n = t_n- 16. La suite (u_n) est alors géométrique, u_n+1 = 0,9 × u_n, sa raison est 0,9 et u_n = (0,9)ⁿ × u_o = (0,9)ⁿ × 64. On en déduit :

t_n = 64 × (0,9)ⁿ + 16

Pour atteindre 40°, il nous faut chercher n tel que :

0,375 = (0,9)ⁿ

• Sans la notion de logarithme, un calcul "par tâtonnement" avec une calculatrice, conduit à un temps compris entre 9 et 10 secondes. 

• En utilisant le logarithme (népérien), on écrit n × ln (0,9) = ln (0,375), soit

n = ln (0,375)/ln (0,9) = 9,3 secondes (environ).

l'unité de temps est encore la seconde, mais le temps t un nombre réel. On note T(t) la température du circuit au temps t exprimé en secondes. Soit Δt un laps de temps assez petit, exprimé en fractions de secondes, de sorte qu'il soit effectivement loisible de considérer que l'apport de chaleur dans le circuit dû au fonctionnement de la machine soit négligeable.

Dans ces conditions, si le mélange est homogène, la température sera, d'après la remarque "barycentrique" faite supra :

Soit :

Faisons tendre Δt vers 0, T est solution de l'équation différentielle :

C'est une équation différentielle linéaire du 1er ordre où T = 16 apparaît comme une solution constante particulière. La solution est :

T = 40° est obtenu pour e^-t/10 = 3/8 , soit lorsque : - t/10 = ln(3/8). D'où t = -10ln(3/8) = 10ln(8/3). Une calculatrice fournit :

A comparer avec le résultat précédent.