ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Suite géométrique et fonction exponentielle               
         Suite géométrique , fonction exponentielle

Considérons un phénomène naturel A soumis à des variations mesurées quantitativement par les grandeurs successives q1, q2, ..., qn, ... On dit que la loi de variation de A est géométrique (et discrète, i.e. l'ensemble des mesures est fini ou au plus infini dénombrable) pour exprimer que l'accroissement prévisionnel de A entre deux mesures consécutives est proportionnel à la mesure actuelle de A. En d'autres termes, si :

qn+1 - qn = k. qn

k est le taux d'accroissement relatif de A. On peut écrire :

qn+1 = (1 + k). qn = r.qn         (1a)

r est la raison de la suite (qn) qui est dite géométrique. Par récurrence descendante, on obtient :

qn = rqn-1 = r2qn-2 = ... = qo.rn         (1b)

qo correspond à la première observation (valeur initiale) du phénomène A.

Cas d'un phénomène continu :

Supposons maintenant que le phénomène A soit à variation continue : A est observé en fonction d'un paramètre x de valeur numérique quelconque (nombre réel) pouvant être un temps, une distance, une température, etc.

Notons q(x) la mesure observée de A. Dire que l'accroissement prévisionnel de A entre deux mesures x et x + h, est proportionnel à la mesure actuelle de A, c'est écrire que :

        (2)

 Noter au passage la similitude avec le cas discret en remarquant que l'on peut écrire :

 

Le membre de gauche de la formule (2) apparaît comme le taux d'accroissement de q au voisinage de x. Le phénomène étant continu, on peut faire tendre h vers 0. On obtient à la limite :

q'(x) = k.q(x)              d'Alembert

où q' désigne le nombre dérivé de q au point x.

Par intégration de cette équation différentielle élémentaire (forme y' = ay), on obtient :

q(x) = q(0).ekx         (3)

A est donc soumis à une loi exponentielle de paramètre k.

La fonction exponentielle et ses applications :                 Loi exponentielle au sens des probabilités :

Lien entre cas discret et cas continu lorsque k << 1 (très petit devant 1)

On sait que si k est "petit", on a sensiblement ek = 1 + k (on peut se référer au développement en série de ex ou revenir à la définition de la fonction dérivée comme le fait tout "bon" élève de Terminale...). Par conséquent, si k est petit, la formule (1a) peut s'écrire :

qn+1 = (1 + k). qn ek.qn , et par suite : qn = (ek)n.qo = qo.enk

On peut écrire, plus fonctionnellement :

q(n) = q(0).enk

C'est la relation (3) au point x = n. Ce qui montre qu'un phénomène de faible variation, régi par une loi géométrique de raison 1 + k  avec k "petit" , est assimilable à un phénomène de loi exponentielle de paramètre k.

Pourquoi dit-on suite géométrique ?

Prenons trois termes consécutifs d'une telle suite de raison r : a , b = a.r , c = b.r = a.r2. Par conséquent b2= ac. C'est dire que b est la moyenne géométrique de a et c. Une suite pour laquelle on a un+1 = r + un (on ajoute r à un au lieu de multiplier) est dite arithmétique pour des raisons similaires : un terme médian b est la moyenne arithmétique des extrêmes a et c.


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