ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Suite géométrique et fonction exponentielle                       » Suite géométrique , fonction exponentielle

Considérons tout d'abord un phénomène naturel A soumis à des variations mesurées quantitativement par les grandeurs successives q₁, q₂, ..., q_n, ... On dit que la loi de variation de A est géométrique (et discrète, i.e. l'ensemble des mesures est fini ou au plus infini dénombrable) pour exprimer que l'accroissement prévisionnel de A entre deux mesures consécutives est proportionnel à la mesure actuelle de A. En d'autres termes, si :

k est le taux d'accroissement relatif de A. On peut écrire :

r est la raison de la suite (q_n) qui est dite géométrique. Par récurrence descendante, on obtient :

q_o correspond à la première observation (valeur initiale) du phénomène A.

Pourquoi dit-on suite géométrique ?    

Prenons trois termes consécutifs a, b et c d'une telle suite de raison r. On a b = a.r , c = b.r = a.r². Par conséquent b²= ac. C'est dire que b est la moyenne géométrique de a et c.

 ➔   Rappel : Une suite pour laquelle on a u_n+1 = r + u_n (on ajoute r à u_n au lieu de multiplier) est dite arithmétique pour des raisons similaires : un terme médian b est la moyenne arithmétique des extrêmes a et c.

Supposons maintenant que le phénomène A soit à variation continue : A est observé en fonction d'un paramètre numérique x quelconque (comme un temps, une distance, une température, etc). Notons q(x) la mesure observée de A. Dire que l'accroissement prévisionnel de A entre deux mesures x et x + h, est proportionnel à la mesure actuelle de A, c'est écrire que :

        (2)

 ➔  Noter au passage la similitude avec le cas discret en remarquant que l'on peut écrire :

Le membre de gauche de la formule (2) apparaît comme le taux d'accroissement de q au voisinage de x. Le phénomène étant continu, on peut faire tendre h vers 0. On obtient à la limite :

q'(x) = k.q(x)             » Jean le Rond d'Alembert

où q' désigne le nombre dérivé de q au point x.

Par intégration de cette équation différentielle élémentaire (forme y' = ay), on obtient :

A est donc soumis à une loi exponentielle de paramètre k.

Refroidissement et réchauffement, des phénomènes exponentiels

La fonction exponentielle et ses applications : »                Loi exponentielle au sens des probabilités : »

On sait que si k est "petit", on a sensiblement e^k = 1 + k (on peut se référer au développement en série de e^x ou revenir à la définition de la fonction dérivée comme le fait tout "bon" élève de Terminale...). Par conséquent, si k est petit, la formule (1a) peut s'écrire :

On peut écrire, plus fonctionnellement :

C'est la relation (3) au point x = n. Ce qui montre qu'un phénomène de faible variation, régi par une loi géométrique de raison 1 + k  avec k "petit" , est assimilable à un phénomène de loi exponentielle de paramètre k.