ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cuve fermée de parois minimales à base circulaire #2     niveau 1ère/Ter             » variante sans couvercle

On reprend ici un exercice semblable à celui présenté en cuve maximale cylindrique. On tient ici compte du fond et du couvercle et on compare à une cuve sphérique.

On désire fabriquer une cuve métallique cylindrique (droit), fermée et de contenance 4 m³.

Pour des raisons d'étanchéité, les surfaces intérieures seront traitées; ce traitement coûte cher.

Il s'agit alors de calculer les dimensions optimales afin que le coût du traitement soit minimal.

• On note R le rayon du cylindre, h sa hauteur, S l'aire totale des surfaces intérieures. Exprimer S et V en fonction de R et h.

• Exprimer S en fonction de R seul.

• Calculer la surface de feuille métallique minimale nécessaire (on donnera un résultat arrondi au m² le plus proche).

 ➔  Une cuve sphérique est plus difficile à fabriquer, donc plus coûteuse. Que serait cependant la surface à traiter ?

• On a S = 2πR² + 2πRh et V = πR²h.
• En éliminant h, on obtient S = 2πR² + 8/R.
• On étudie la fonction R →S(R) qui est minimale pour R³ = 2/π, soit pour :

       (racine cubique de 2/π)

• On a alors S = 12/R ≅ 14 m²

 ➔  Noter que le diamètre de la cuve est égal à sa hauteur : h = 2R; en effet, en remarquant que R³ = 2/π peut s'écrire 1/R² = Rπ/2 :

• On peut aussi jouer avec les exposant fractionnaires :

Comparaison à une cuve sphérique :     

L'aire de la sphère est donnée par la formule S = 4πR²; son volume est :

Une calculatrice permet de calculer R³ sachant V = 4 m³. On en déduit R avec la touche racine cubique de la calculatrice (³_√), ou bien en prenant la puissance 1/3 de R³, puis S :

R ≅ 0,9847... et S ≅ 12,19 m²

Le gain est d'environ 13%. Choisir entre sphérique ou cylindrique dépendra des coûts de fabrication mais aussi du contenu. La forme sphérique est utilisée pour le stockage de gaz liquéfiés car elle présente une excellente résistance à la pression et sa résistance thermique est optimale.

Une cuve sphérique de triste mémoire fut une de celles de la raffinerie de Feyzin, près de Lyon, qui, suite à une fuite importante s'enflamma le 4 janvier 1966 en bordure d'autoroute.

Le bilan fut très lourd : 18 morts et 80 blessés. Photo en couleurs : plan sur les réservoirs sphériques du site actuel.