ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Équation paramétrique de l'enveloppe d'une famille de courbes     » Cas de l'astroïde          ∗∗∗  exercices

m désignant un paramètre réel, soit (c_m) une famille de courbes planes définie par une équation de la forme :

Considérons deux courbes c_m et c_m+h obtenues pour deux valeurs infiniment proches m et m + h du paramètre.

Soit E_m,h le point d'intersection de c_m et c_m+h lorsqu'il existe et est unique. Si E_m+h possède une position limite E_m lorsque h vers 0, l'ensemble des points E_m lorsque m varie est l'enveloppe des courbes c_m. Ces points E_m sont les points caractéristiques des courbes c_m.

L'enveloppe E, ensemble des points E_m, est donc obtenue par le système :

Ce système nous conduit, pour tout h infiniment petit et non nul à :

Par suite, si h tend vers 0, nous aurons f '_/m(x,y,m) = 0, dérivée partielle de f(x,y,m) par rapport à m, et il pourra être possible de trouver une équation paramétrique de (E) sous la forme :

x = u(m)
y = v(m)
sous les conditions : f(x,y,m) = 0 et f '_/m(x,y,m) = 0

Conclusion :   

Pour rechercher une équation de l'enveloppe d'une famille de courbes dépendant d'un paramètre m : on résout le système homogène formé par l'équation de la famille et de la dérivée par rapport à m de cette équation

 !  Des cas particuliers peuvent se produire. Un exemple est donné ici en exercice corrigé où une famille de droites admet comme enveloppe un unique point du fait que toutes les droites de la famille passent par ce point !

∗∗∗ 
Montrer que l'enveloppe de la famille de droites d'équation y = x/cos(m) - tan(m) n'est autre que l'hyperbole équilatère  ci-dessous d'équation x² - y² = 1.

∗∗∗
Montrer que l'enveloppe de la famille de droites d'équation y = xtan(m) + 1/tan(m) est une parabole dont on calculera une équation cartésienne.

Indications pour la solution :

1. En dérivant par rapport à m et en posant t = tan(m), on obtient :  x = 1/sin(m).
    D'où x² = 1 + 1/t²    et   y = x/cos(m) - tan(m) = 1/tan(m) = 1/t, ce qui fournit x² - y² = 1
2. En dérivant par rapport à m et en posant t = tan(m), on obtient :  x = 1/t²    et   y = 2/t. Donc y² = 4x.

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Génération et approche concrète de l'astroïde

animation Wims

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