ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Équation paramétrique de l'enveloppe d'une famille de courbes
   
Cas de l'astroïde            exercices

m désignant un paramètre réel, soit (cm) une famille de courbes planes définie par une équation de la forme :

M(x,y)(cm) f(x,y,m) = 0

Considérons deux courbes cm et cm+h obtenues pour deux valeurs infiniment proches m et m + h du paramètre.

Soit Em,h le point d'intersection de cm et cm+h lorsqu'il existe et est unique. Si Em+h possède une position limite Em lorsque h vers 0, l'ensemble des points Em lorsque m varie est l'enveloppe des courbes cm. Ces points Em sont les points caractéristiques des courbes cm.

L'enveloppe E, ensemble des points Em, est donc obtenue par le système :

f(x,y,m) = 0
f(x,y,m+h) = 0,
h infiniment petit tendant vers 0

Ce système nous conduit, pour tout h infiniment petit et non nul à :

Par suite, si h tend vers 0, nous aurons f '/m(x,y,m) = 0, dérivée partielle de f(x,y,m) par rapport à m, et il pourra être possible de trouver une équation paramétrique de (E) sous la forme :

x = u(m)
y = v(m)
sous les conditions : f(x,y,m) = 0 et f
'/m(x,y,m) = 0

Conclusion :   

Pour rechercher une équation de l'enveloppe d'une famille de courbes dépendant d'un paramètre m : on résout le système homogène formé par l'équation de la famille et de la dérivée par rapport à m de cette équation

Des cas particuliers peuvent se produire. Un exemple est donné ici en exercice corrigé où une famille de droites admet comme enveloppe un unique point du fait que toutes les droites de la famille passent par ce point !

 
Montrer que l'enveloppe de la famille de droites d'équation y = x/cos(m) - tan(m) n'est autre que l'
hyperbole équilatère  ci-dessous d'équation x2 - y2 = 1.


Montrer que l'enveloppe de la famille de droites d'équation y = xtan(m) + 1/tan(m) est une
parabole dont on calculera une équation cartésienne.

Indications pour la solution :

1. En dérivant par rapport à m et en posant t = tan(m), on obtient :  x = 1/sin(m).
    D'où x2 = 1 + 1/t2    et   y = x/cos(m) - tan(m) = 1/tan(m) = 1/t, ce qui fournit x2 - y2 = 1

2. En dérivant par rapport à m et en posant t = tan(m), on obtient :  x = 1/t2    et   y = 2/t. Donc y2 = 4x.

 


Génération et approche concrète de l'astroïde


animation Wims


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