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Étude de la parabole semi-cubique dite parabole de Neile
 
parabole cubique      animation    

Pionnier dans l'art du calcul de la longueur d'un arc de courbe, le mathématicien anglais Neile chercha à rectifier (rechercher sa longueur) la courbe d'équation cartésienne y2 = x3. Cette courbe est en rapport étroit avec la développée de la parabole : enveloppe de ses normales.

On peut utiliser l'équation générale d'une développée mais ce n'est pas très gai. Considérons donc une parabole (p). Par exemple celle d'équation y = x2/4. Le coefficient directeur d'une tangente à (p) en un point M(xo,yo) est xo/2, donc celui de la normale en ce point est -2/xo. L'équation générale des normales est donc :

y - yo = (-2/xo)(x - xo)

Posons m = xo. On a :

2x/m + y - m2/4 - 2 = 0 (m non nul)

On dérive par rapport au paramètre m :

-2x/m2 - 2m/4 = 0 , soit : x/m = -m2/4 ou encore : m3 = -4x.

D'où :

(y - 2)3 = (m2/4 - 2x/m)3 = (-3x/m)3 = -27x3/(-4x) = 27(x/2)2  avec  y > 2, x 0

C'est dire que :

Quitte à poser : X = x/2 et Y = (y - 2)/3, on est ramené par affinités à :

Y3 = X2

et par symétrie par rapport à la première bissectrice des axes (échange de x et de y) :

Y2 = X3  

 La développée, dite parabole semi-cubique, puisque Y = X3/2 (ou encore : parabole de Neile) est en bleu, la parabole (p) en rose saumon. On a tracé quelques normales à (p) : elles enveloppent la développée... Notons enfin que le calcul d'un arc de cette courbe est plus simple que celui d'un arc de parabole. En effet l'équation y2 = x3 fournit par dérivation 2yy' = 3x2 et conduit à l'intégrale de la racine carrée de 1 + 9x/4.

Animation :


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