ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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Afin de calculer une approximation du déjà célèbre nombre π, la méthode de Nicolas de Cuse, décrite ci-après, diffère de celle d'Archimède de par la constance des périmètres des polygones réguliers utilisés pour approcher la circonférence du cercle. Le nom de la méthode est issu du grec : isos = égal, péri = autour, métron = mesure).
Supposons construit un polygone régulier Pn de 2n côtés (n ≥ 2), de périmètre égal à 2. Dire que le périmètre est constant signifie que si l'on double le nombre de côtés (on passe de Pn à Pn+1), on fera en sorte, ci-dessous, que le périmètre soit toujours égal à 2.
Notons respectivement OJ = un et OI =
vn les rayons des cercles inscrit et exinscrit à
(Pn).
On a :
2πun < 2 < 2πvn
Ce qui peut s'écrire :
1/vn < π < 1/un
♦ Montrons que un+1 est la moyenne arithmétique de un et vn et que vn+1 est la moyenne géométrique de vn et un+1. Reconsidérons pour cela la figure ci-dessus où l'on considère, pour fixer les idées, le carré P2 (n = 2), dont un des côtés est AB et dont nous supposons le périmètre égal à 2.
Le centre du polygone est O, I est le milieu de l'arc AB , J est celui de la corde [AB]. Noter que :
Ainsi, CD = AB/2 : c'est le côté de Pn+1, donc ici P3 : octogone régulier de 23 = 8 côtés. On en déduit, en notant K le milieu de [CD], qui est aussi le milieu de [IJ] :
Il nous faut maintenant une formule de récurrence : nous avons OK = (OI + OJ)/2 , moyenne arithmétique de un et vn. Or le triangle OCI est rectangle en C et admet [CK] comme hauteur. Par conséquent :
➔ OC est donc la moyenne géométrique de un et vn.
Une récurrence double s'établit alors comme suit, en remarquant que pour n = 2, P2 est le carré de côté 1/2 :
Pour tout n ≥
2, vn supérieur est à un et les
suites (vn) et (un) ont même limite. En
conséquence, compte tenu du nombre fini de décimales
traité par la machine, il existe une valeur no de n
pour laquelle on a, en calcul machine, vn = un
pour tout n ≥
no. Nous utilisons cette propriété comme test d'arrêt :
| Programmation de la méthode en JavaScript |
| <SCRIPT
LANGUAGE=JavaScript> function go() { n=2; u=0.25; v=Math.sqrt(2)/4 while(v>u) {u=(u+v)/2; v=Math.sqrt(u*v); n++; vs=1/v; us=1/u; alert("Iteration "+n+" , Nb. de côtés :"+Math.pow(2, n)+"\n"+vs+" < pi < "+us) } } </SCRIPT> |
➔ Dans ce programme, u et v désignent respectivement un et vn.
Méthode des périmètres selon Archimède : » 1000 décimales de π : »
Méthode des
isopérimètres pour le calcul de
π