ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Méthode des isopérimètres pour le calcul de π
        tester le programme "on line"

Afin de calculer une approximation du déjà célèbre nombre π, la méthode de Nicolas de Cusa, décrite ci-après, diffère de celle d'Archimède de par la constance des périmètres (d'où le nom de la méthode) des polygones réguliers utilisés pour approcher la circonférence du cercle.

Supposons construit un polygone régulier Pn de 2n côtés (n 2), de périmètre égal à 2. Dire que le périmètre est constant signifie que si l'on double le nombre de côtés (on passe de Pn à Pn+1), on fera en sorte, ci-dessous, que le périmètre soit toujours égal à 2.

Notons respectivement OJ = un et OI = vn les rayons des cercles inscrit et exinscrit à (Pn).
On a :              

un < 2 < 2πvn

Ce qui peut s'écrire :

1/vn < π < 1/un  

Montrons que un+1 est la moyenne arithmétique de un et vn et que vn+1 est la moyenne géométrique de vn et un+1. Reconsidérons pour cela la figure ci-dessus où l'on considère, pour fixer les idées, le carré P2 (n = 2), dont un des côtés est AB et dont nous supposons le périmètre égal à 2.

Le centre du polygone est O, I est le milieu de l'arc AB , J est celui de la corde [AB]. Noter que :

  • OJ = un et OI = vn
  • C et D sont les milieux des segments [AI] et [IB].

Ainsi, CD = AB/2  : c'est le côté de Pn+1, donc ici P3 : octogone régulier de 23 = 8 côtés. On en déduit, en notant K le milieu de [CD], qui est aussi le milieu de [IJ] :

OC = vn+1 et OK = un+1

Il nous faut maintenant une formule de récurrence : nous avons OK = (OI + OJ)/2 , moyenne arithmétique de un et vn. Or le triangle OCI est rectangle en C et admet [CK] comme hauteur. Par conséquent :

OC2 = OK.OI

 OC est donc la moyenne géométrique de un et vn.

Une récurrence double s'établit alors comme suit, en remarquant que pour n = 2, P2 est le carré de côté 1/2 :

  • d'une part : un+1 = (un + vn)/2          
  • d'autre part : v2n+1 = un+1vn avec u2 = 1/4 et v2 = 2/4

Pour tout n 2, vn supérieur est à un et les suites (vn) et (un) ont même limite. En conséquence, compte tenu du nombre fini de décimales traité par la machine, il existe une valeur no de n pour laquelle on a, en calcul machine, vn = un pour tout n no. Nous utilisons cette propriété comme test d'arrêt :
 
Programmation de la méthode en JavaScript

  

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
n=2; u=0.25; v=Math.sqrt(2)/4
while(v>u)
  {u=(u+v)/2; v=Math.sqrt(u*v); n++; vs=1/v; us=1/u;
   alert("Iteration "+n+" , Nb. de cotes :"+Math.pow(2, n)+"\n"+vs+" < pi < "+us)
   }
}
</SCRIPT>

 Dans ce programme, u et v désignent respectivement un et vn.

fonctions mathématiques usuelles
 

 

Méthode des périmètres selon Archimède :   1000 décimales de π :


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