ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Méthode des isopérimètres pour le calcul de π
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Afin de calculer une approximation du déjà célèbre nombre π, la méthode de Nicolas de Cusa, décrite ci-après, diffère de celle d'Archimède de par la constance des périmètres des polygones réguliers utilisés pour approcher la circonférence du cercle. Le nom de la méthode est issu du grec : isos = égal, péri = autour, métron = mesure).

Supposons construit un polygone régulier Pn de 2n côtés (n ≥ 2), de périmètre égal à 2. Dire que le périmètre est constant signifie que si l'on double le nombre de côtés (on passe de Pn à Pn+1), on fera en sorte, ci-dessous, que le périmètre soit toujours égal à 2.

Notons respectivement OJ = un et OI = vn les rayons des cercles inscrit et exinscrit à (Pn).
On a :              

un < 2 < 2πvn

Ce qui peut s'écrire :

1/vn < π < 1/un  

Montrons que un+1 est la moyenne arithmétique de un et vn et que vn+1 est la moyenne géométrique de vn et un+1. Reconsidérons pour cela la figure ci-dessus où l'on considère, pour fixer les idées, le carré P2 (n = 2), dont un des côtés est AB et dont nous supposons le périmètre égal à 2.

Le centre du polygone est O, I est le milieu de l'arc AB , J est celui de la corde [AB]. Noter que :

  • OJ = un et OI = vn
  • C et D sont les milieux des segments [AI] et [IB].

Ainsi, CD = AB/2  : c'est le côté de Pn+1, donc ici P3 : octogone régulier de 23 = 8 côtés. On en déduit, en notant K le milieu de [CD], qui est aussi le milieu de [IJ] :

OC = vn+1 et OK = un+1

Il nous faut maintenant une formule de récurrence : nous avons OK = (OI + OJ)/2 , moyenne arithmétique de un et vn. Or le triangle OCI est rectangle en C et admet [CK] comme hauteur. Par conséquent :

OC2 = OK.OI

   OC est donc la moyenne géométrique de un et vn.

Une récurrence double s'établit alors comme suit, en remarquant que pour n = 2, P2 est le carré de côté 1/2 :

  • d'une part : un+1 = (un + vn)/2          
  • d'autre part : v2n+1 = un+1vn avec u2 = 1/4 et v2 = √2/4

Pour tout n ≥ 2, vn supérieur est à un et les suites (vn) et (un) ont même limite. En conséquence, compte tenu du nombre fini de décimales traité par la machine, il existe une valeur no de n pour laquelle on a, en calcul machine, vn = un pour tout n ≥ no. Nous utilisons cette propriété comme test d'arrêt :
 
Programmation de la méthode en JavaScript

  

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
n=2; u=0.25; v=Math.sqrt(2)/4
while(v>u)
  {u=(u+v)/2; v=Math.sqrt(u*v); n++; vs=1/v; us=1/u;
   alert("Iteration "+n+" , Nb. de côtés :"+Math.pow(2, n)+"\n"+vs+" < pi < "+us)
   }
}
</SCRIPT>

    Dans ce programme, u et v désignent respectivement un et vn.

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