ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Tétraèdre orthocentrique      niveau 1èreS/TerS              » cas du tétraèdre régulier

On considère un tétraèdre ABCD. Il n'est pas assuré que les hauteurs issues de A et de B (par exemple) admettent un point commun. Moins sûr encore, le fait que les quatre hauteurs soient concourantes ! Si c'est le cas, le tétraèdre est dit orthocentrique.

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1° a) Construire le patron d'un tétraèdre dont les 4 faces sont des triangles rectangles. Le représenter en perspective. Justifier que les hauteurs ne sont pas concourantes.

b) Étudier le cas du tétraèdre trirectangle (en un sommet, 3 faces forment un trièdre rectangle).

c) Le cas du tétraèdre régulier est particulier : il est orthocentrique et ses hauteurs (en tant que segments joignant un sommet à sa projection orthogonale sur la face opposée) sont concourantes en un point situé H au 1/4 de leur longueur à partir de leur pied qui est aussi le centre de gravité du tétraèdre.

2° a) On suppose que les hauteurs issues de A et B sont concourantes en un point H. Justifier que les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales.

b) Prouver la réciproque de ce résultat en montrant que si (AB) et (CD) sont orthogonales, alors :

 i/  le point E, pied de la hauteur issue de A dans le triangle (ACD) est aussi le pied de la hauteur dans le triangle (BCD).

 ii/ les hauteurs issues de A et B dans le triangle ABE ne sont autres que celles issues de A et B dans le tétraèdre ABCD : elles concourent donc en H, orthocentre de ABE.

 ➔  Dans la suite, une notation comme AB signifiera le vecteur AB.

3°) On suppose maintenant (AD) orthogonale à (BC). Les produits scalaires AB.CD et AD.BC sont donc nuls.

    a) Montrer en décomposant AB.CD + AD.BC = 0 que (AC) est aussi orthogonale à (BD).

    b) En remarquant que HD = HB + BD, justifier que (DH) est orthogonale à (AC). Vérifier de la même manière en écrivant
          HD = HA + AD que (DH) est orthogonale à (BC). Conclusion ?

    c) En remarquant que HC = HA + AC, justifier que (CH) est orthogonale à (BD). Vérifier de la même manière en écrivant
          HC = HB + BC que (CH) est orthogonale à (AD). Conclusion ?

4°) Les hauteurs du tétraèdre sont donc concourantes si ses arêtes sont orthogonales aux arêtes opposées. Etablir la réciproque : dans un tétraèdre orthocentrique, les arêtes opposées sont orthogonales.

1° a)  Patron d'un tétraèdre dont les 4 faces sont des triangles rectangles.

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Perspective :    

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Les hauteurs ne sont pas concourantes : les hauteurs issues de A et de D n'ont pas de point commun

1° b) Les hauteurs d'un tétraèdre trirectangle sont concourantes, c'est bien évident...

2° a)  (AH) est orthogonale au plan (BCD), en particulier à (BD). (BH) est orthogonale au plan (ABD), en particulier à (BD). Ainsi (BD) est orthogonale à (AH) et à (BH), donc à deux droites sécantes du plan (ABH). Par suite (BD) est orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à (AB).

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2° b)  i) C'est bien évident...

ii) Avec les notations de la figure ci-contre, (CD) est perpendiculaire à (ABE) puisqu'orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. On a alors (CD) ⊥ (Aa'), mais aussi (BE) ⊥ (Aa'), par conséquent (Aa') est perpendiculaire au plan (BCD) : (Aa') est la hauteur du tétraèdre issue de A. Raisonnement similaire pour (Bb').

3° a)  AB.CD + AD.BC = 0
           = AB.(AD - AC) + AD.(AC - AB)
           = -AB.AC + AD.AC = AC.AD - AB.AC
           = AC.BD

(AC) est donc orthogonale à (BD).

3° b)  HD = HB + BD. Mais (HB) est orthogonale au plan ACD contenant (AC) et (BD) orthogonale à (CA) : (HD) est donc orthogonale à (AC). On vérifie facilement de même que (HD) est orthogonale à (CB). Finalement, on a (HD) orthogonal au plan (ABC), c'est dire que la hauteur issue de D dans le tétraèdre ABCD est (DH).

3° c) On montre tout aussi facilement que (CH) est orthogonale au plan (ABD) : (CH) est la hauteur issue de C dans le tétraèdre ABCD.

4°) Inversement si les hauteurs sont concourantes en un point H : on a (CD) ⊥ (AH) et (CD) ⊥ (BH), donc (CD) ⊥ (ABH) et par conséquent (en particulier) : (CD) orthogonal (AB). On montrerait de même les deux autres orthogonalités.