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Hauteurs et orthocentre du tétraèdre régulier      niveau 1èreS/TerS                  » tétraèdre orthocentrique

On considère un tétraèdre régulier ABCD : ses quatre faces sont équilatérales. Il est inscriptible dans une sphère. C'est un des 5 solides de Platon. La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri géomètre. La perspective choisie conserve volontairement la face ABD équilatérale :

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On peut déplacer C pour une perspective jugée plus adéquate selon l'entendement de chacun.

L'objectif de cette étude est de prouver :     

1°) Que les quatre hauteurs d'un tel tétraèdre (droites abaissées d'un sommet perpendiculairement à la face opposée) sont concourantes en un point appelé orthocentre du tétraèdre (point H ci-contre). On parle de tétraèdre orthocentrique.

2°) De plus, en tant que segments joignant un sommet à sa projection orthogonale sur la face opposée, il s'agit de prouver que ces hauteurs se rencontrent au 1/4 de leur longueur à partir de leur pied.

 ➔  Sur la figure, cela signifie par exemple que HG = AG/4 où G est à la fois le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre du triangle équilatéral BCD. Cette propriété montre que l'orthocentre H n'est autre, dans ce cas régulier, que le centre de gravité du tétraèdre (ainsi que le centre de sa sphère circonscrite). Mais on n'utilisera pas ici ce résultat. On rappelle que dans un triangle, les médianes se coupent au 1/3 à partir de leur pied.
 

Preuves :   

1°) Par raison de symétrie, le pied de la hauteur du tétraèdre issue de A est équidistant des sommets B, C et D : c'est le point G centre du cercle circonscrit au triangle BCD, également orthocentre et centre de gravité de ce triangle.

Soit H l'orthocentre du triangle ABE. [AG] et [BL] sont deux hauteurs de ce triangle dont le plan n'est autre que le plan médiateur de l'arête (CD). [BL] qui est perpendiculaire à [AE] est donc la hauteur du tétraèdre issue de B.

2°) Dans ce triangle, isocèle en E, [ER] est hauteur et médiane. Par suite, en appliquant ce résultat dans le triangle ABE, H est situé au quart de HG à compter de G.

Dans DAK, isocèle en K, dont le plan est médiateur de [BC], [KS] et [AG] sont deux hauteurs de ce triangle, le même résultat permet d'affirmer que l'orthocentre de ce triangle est encore H et [DN] est la hauteur du tétraèdre issue de D.

Pour les mêmes raisons, dans CAF, [CM] et [AG] sont deux hauteurs de ce triangle et [CM] est la hauteur du tétraèdre issue de C.