ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Clélies        ••• animation        » roses de Grandi

S'intéressant aux courbes décrites sur des volumes comme le cône et la sphère (dont il étudie les loxodromies), Grandi appela ainsi, en hommage à la comtesse italienne Clelia Borromeo, les courbes sphériques (décrites sur une sphère) décrites ci-dessous :

Considérons une sphère de centre O, rayon R, tournant à vitesse constante autour de son axe (NS). Un point M de la sphère décrit un méridien à vitesse constante.

Quelle courbe décrit M relativement à un repère orthonormé fixe (Ox,Oy,Oz) d'axe (Oz) orienté par SN ?

Avec les notations de la figure ci-contre, supposons que M soit en A, point de l'équateur, au temps t = 0. Tout se passe comme si le méridien (m) passant par A tournait autour de l'axe (NS), M décrivant (m). Au temps t, A est venu en B.

La mesure de l'angle ^AOB est une fonction du temps t, notons-la θ(t)  : si la sphère désigne la Terre, c'est la longitude de M si la position initiale de (m) correspond au méridien de Greenwich.

On a :

• dθ/dt = constante = ω.

• Au temps t = 0, θ(t) = 0 donc  θ(t) = ωt.

Prenons pour simplifier la vitesse angulaire ω comme unité : on peut alors poser θ(t) = t et, vu la vitesse constante de M,  ^BOM = kt (angle jouant le rôle de la latitude).

• M se projette sur [OB), dans le plan xOy, en R.cos kt.

• Sa cote est z = R.cos (π/2 - kt) = R.sin kt.

Par conséquent, l'équation paramétrique de la clélie est :

x = R.cos kt.cos t
y = R.cos kt.sin t
z = R.sin kt

 ➔   Voici, ci-dessous, la clélie vue par Wims, lorsque k = 1/8 : on a fait décrire à t l'intervalle [0,16π] de sorte que lorsque la sphère a fait 8 tours, le point M aura décrit un méridien complet.

Lorsque M s'approche des pôles, la sphère tournant plus vite sur elle-même que M sur son méridien (en termes de vitesse angulaire), on obtient une petite boucle.

En utilisant le traceur de Wims, vous pourrez visualiser différentes clélies en fonction de la valeur k. On observera en particulier les cas k = 1/2, k = 1, k = 2.