ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 FRESNEL Augustin,
français, 1788-1827 |
Polytechnicien,
il fut ingénieur des ponts et
chaussées et un éminent
physicien. Ses travaux portèrent principalement sur l'optique
où il étudia les interférences lumineuses et les
phénomènes de diffraction (1815) qu'il traduisit
mathématiquement en mouvements ondulatoires.
Fresnel entre (1823) à l'Académie des sciences suite à ses travaux sur la diffraction et la nature ondulatoire de la lumière s'opposant à la théorie corpusculaire de Newton.
La célèbre lentille à échelons (ou à entailles), dite de Fresnel, inventée en 1822, permit d'augmenter considérablement la luminosité des phares maritimes. Le principe est également utilisé dans les feux de circulation.
Lentille de Fresnel (animation Cabri Géo, Université de Nantes) : »
Dans le
cadre de l'année mondiale de la physique (année 2005), organisée par l'UNESCO,
l'ONU et l'Union internationale de la physique, l'Académie des sciences rend
hommage à ce physicien et mathématicien français à la page :
http://www.academie-sciences.fr/membres/in_memoriam/Fresnel/Fresnel_oeuvre.htm
| Intégrales de Fresnel : |
Ces intégrales sont convergentes et valent toutes deux
.
Elles interviennent en optique sous la forme d'une courbe
paramétrée.
Le calcul :
Soit f : t →1/√t (t > 0) et F(ω) l'intégrale sur R+ de t → sin(ωt)/√t :
La fonction f, continue en tout t > 0, vérifie les
conditions d'inversion de la
transformée de Fourier.
On peut donc écrire :
Dans l'intégrale définissant F(ω), faisons le changement de variable u = tω. On a alors dt = du/ω et 1/√t = √ω/√u. Par suite :
On en déduit :
Par conséquent : J2 = π/2. La fonction h(x) = sin(x)/√x s'annule en tous les multiples de π et les arches vont en "diminuant". La 1ère arche est au-dessus de l'axe (Ox). J ne peut donc pas être négative : J = √(π/2).
Donnons alors une nouvelle expression de J en posant u = x2, x > 0. Il vient :
∗∗∗
Le lecteur est invité, par un calcul totalement semblable,
à prouver que J est aussi l'intégrale sur R+ de cos
x2.
| Représentation de Fresnel : |
Il s'agit de l'écriture symbolique en termes de nombres complexes de l'élongation y = a.sin(kt + r) d'un mouvement vibratoire d'amplitude a > 0 : on associe à y le complexe
Cette convention permet une représentation et un calcul simples des paramètres de la superposition de deux (ou plusieurs) vibrations d'élongations parallèles (triangle et polygones de Fresnel).
Poncelet