ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

FRESNEL Augustin, français, 1788-1827

Polytechnicien, il fut ingénieur des ponts et chaussées et un éminent physicien. Ses travaux portèrent principalement sur l'optique où il étudia les interférences lumineuses et les phénomènes de diffraction (1815) qu'il traduisit mathématiquement en mouvements ondulatoires.

Fresnel entre (1823) à l'Académie des sciences suite à ses travaux sur la diffraction et la nature ondulatoire de la lumière s'opposant à la théorie corpusculaire de Newton.

La célèbre lentille à échelons (ou à entailles), dite de Fresnel, inventée en 1822, permit d'augmenter considérablement la luminosité des phares maritimes. Le principe est également utilisé dans les feux de circulation.

Lentille de Fresnel (animation Cabri Géo, Université de Nantes) :

Dans le cadre de l'année mondiale de la physique (année 2005), organisée par l'UNESCO, l'ONU et l'Union internationale de la physique, l'Académie des sciences rend hommage à ce physicien et mathématicien français à la page :

http://www.academie-sciences.fr/membres/in_memoriam/Fresnel/Fresnel_oeuvre.htm

Intégrales de Fresnel :

Ces intégrales sont convergentes et valent toutes deux . Elles interviennent en optique sous la forme d'une courbe paramétrée.

Le calcul :  Soit f : t 1/t (t > 0) et F(ω) l'intégrale sur R+ de t sin(ωt)/t :

La fonction f, continue en tout t > 0, vérifie les conditions d'inversion de la transformée de Fourier.
On peut donc écrire :

Dans l'intégrale définissant F(ω), faisons le changement de variable u = tω. On a alors dt = du/ω et 1/t = ω/u. Par suite :

On en déduit :

Par conséquent : J2 = π/2. La fonction h(x) =  = sin(x)/x s'annule en tous les multiples de πet les arches vont en "diminuant". La 1ère arche est au-dessus de l'axe (Ox). J ne peut donc pas être négative : J = (π/2).

Donnons alors une nouvelle expression de J en posant u = x2, x > 0. Il vient :


Le lecteur est invité, par un calcul totalement semblable, à prouver que J est aussi l'intégrale sur R+ de cos x2.

Cornu :                          Intégrale de Cayley : 
Représentation de Fresnel :

Il s'agit de l'écriture symbolique en termes de nombres complexes de l'élongation y = a.sin(kt + r) d'un mouvement vibratoire d'amplitude a > 0 : on associe à y le complexe

Z = a.ei(kt + r)

Cette convention permet une représentation et un calcul simples des paramètres de la superposition de deux (ou plusieurs) vibrations d'élongations parallèles (triangle et polygones de Fresnel).


Horner  Poncelet
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