ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Méthode de Poncelet  pour l'intégration approchée (méthode des tangentes)       
    
Programme en ligne

Il s'agit de calculer une valeur approchée de l'intégrale, sur un intervalle [a,b], d'une fonction positive et continue f, conservant la même concavité sur l'intervalle [a,b]. Poncelet utilisa la moyenne arithmétique basée sur une utilisation de la méthode des trapèzes par excès et par défaut.

Étude :  

On subdivise l'intervalle [a,b] en n sous-intervalles [xi,xi+1] avec i variant de 0 à n : xo = a < x1< x2 < ... < xn = b

Une première approximation J de I est donnée par la somme des aires des trapèzes (en jaune ci-contre) :

Sur le schéma, f est concave et la méthode des trapèzes fournit une approximation par défaut. Une fonction convexe fournirait une approximation par excès.

Méthode des tangentes :    

Considérons maintenant le point mi centre de l'intervalle [xi , xi+1] dont l'image est zi = f(mi). Traçons la tangente (T) à la courbe en ce point. L'aire du trapèze défini par (T), les droites (x = xi), (x = xi+1) et l'axe des abscisses fournit une approximation de l'intégrale I cherchée :

Nous pourrions mesurer l'aire de ce trapèze en calculant le coefficient directeur de (T) qui est donné par le nombre dérivé f '(mi) de f au point mi en choisissant le pas h = xi+1 - xi de la subdivision suffisamment petit. On aurait alors sensiblement :

C'est dire que (T) est sensiblement parallèle au segment en pointillé représenté ci-dessous.

Mais, en fait, nous n'avons pas besoin de la valeur exacte ou approchée de f '(mi) car l'aire Ai du trapèze en question ne dépend que de yi, yi+1 et zi : on a tout simplement Ai = zi x h.

Aire du trapèze et segment médian :

Il suit qu'une approximation de I est donnée par la formule suivante, dite méthode des tangentes :

La formule de Poncelet consiste alors à faire la moyenne arithmétique des deux approximations, soit :

Programmation de la méthode en JavaScript :

Pour plus de clarté, le programme calcule indépendamment les approximations par la méthode des trapèzes (jtrap) et par la méthode des tangentes (jtg).

  Pour tester ce programme vous devez entrer votre fonction en utilisant une syntaxe comprise par le langage JavaScript. L'instruction with (Math), placée en début de procédure, évite à l'utilisateur de préciser Math devant chaque fonction mathématique utilisée. Les opérations et fonctions usuelles sont les suivantes :

 fonctions mathématiques usuelles


<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
var fonc
var pi=3.141592653589793, e=2.7182818284590452;
function pon()
{with (Math)
{
fonc="1/x"; a=1 ; b=2 ; n="100";
fonc=prompt("Entrez votre fonction :",fonc)
a=eval(prompt("Entrez a :",a));
b=eval(prompt("Entrez b :",b));
n=prompt("Nombre de points n pair = ",n);
if (n==null) {return} else {n =eval(n)};
h=(b-a)/n;
j=f(a)/2+f(b)/2;
      // ---------- méthode des trapèzes ---------
for(i=1; i<=n-1; i++) {j = j + f(a+i*h)}
jtrap=j*h;
j=0 ; a1= a+h/2;
      // -------------- méthode des tangentes ---------
for(i=0;i<=n-1;i++) {j = j + f(a1+i*h)}
jtg=j*h ; jp=(jtrap+jtg)/2; err = abs(jtrap-jtg)/2
alert("Integrale trapezes = "+ jtrap+"\n"+"Integrale tangentes = "+ jtg+"Integrale Poncelet = "+ jp+
"\n"+"Erreur maximale = "+err)}
}

function f(x)
{
with(Math){y=eval(fonc) return y}
}
</SCRIPT>

Par défaut, le programme calcule une approximation de ln 2 en calculant l'intégrale de f(x) = 1/x sur l'intervalle [1;2] avec n = 100. On obtient J = 0,69314874..., soit une valeur approchée de ln 2 = 0,693147181... avec une erreur inférieure à 2.10-6.

 En conclusion : 

La méthode de Simpson, quoique généralement très satisfaisante, ne fournit pas un calcul simple de l'erreur. La méthode de Poncelet a donc l'immense avantage d'être simple et de fournir une évaluation également simple de l'erreur commise !

Application de la méthode à la fonction de répartition de la loi normale :Autres méthodes :


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