Méthode de Poncelet (intégration approchée)

Il s'agit de calculer une valeur approchée de l'intégrale, sur un intervalle [a,b], d'une fonction positive et continue f, conservant la même concavité sur l'intervalle [a,b]. Poncelet utilisa la moyenne arithmétique basée sur une utilisation de la méthode des trapèzes par excès et par défaut.

On subdivise l'intervalle [a,b] en n sous-intervalles [x_i,x_i+1] avec i variant de 0 à n : x_o= a < x₁< x₂< ... < x_n= b

Une première approximation J de I est donnée par la somme des aires des trapèzes (en jaune ci-contre) :

Sur le schéma, f est concave et la méthode des trapèzes fournit une approximation par défaut. Une fonction convexe fournirait une approximation par excès.

Considérons maintenant le point m_i centre de l'intervalle [x_i, x_i+1] dont l'image est z_i = f(m_i). Traçons la tangente (T) à la courbe en ce point. L'aire du trapèze défini par (T), les droites (x = x_i), (x = x_i+1) et l'axe des abscisses fournit une approximation de l'intégrale I cherchée :

➔ Nous pourrions mesurer l'aire de ce trapèze en calculant le coefficient directeur de (T) qui est donné par le nombre dérivé f '(m_i) de f au point m_i en choisissant le pas h = x_i+1 - x_i de la subdivision suffisamment petit. On aurait alors sensiblement :

C'est dire que (T) est sensiblement parallèle au segment en pointillé représenté ci-dessous.

Mais, en fait, nous n'avons pas besoin de la valeur exacte ou approchée de f '(m_i) car l'aire A_i du trapèze en question ne dépend que de y_i, y_i+1 et z_i : on a tout simplement A_i = z_i × h.

Il suit qu'une approximation de I est donnée par la formule suivante, dite méthode des tangentes :

La formule de Poncelet consiste alors à faire la moyenne arithmétique des deux approximations, soit :

Pour plus de clarté, le programme calcule indépendamment les approximations par la méthode des trapèzes (jtrap) et par la méthode des tangentes (jtg).

➔ Pour tester ce programme vous devez entrer votre fonction en utilisant une syntaxe comprise par le langage JavaScript. L'instruction with (Math), placée en début de procédure, évite à l'utilisateur de préciser Math devant chaque fonction mathématique utilisée. Les opérations et fonctions usuelles sont les suivantes :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
var fonc
var pi=3.141592653589793, e=2.7182818284590452;
function pon()
{with (Math)
{
fonc="1/x"; a=1 ; b=2 ; n="100";
fonc=prompt("Entrez votre fonction :",fonc)
a=eval(prompt("Entrez a :",a));
b=eval(prompt("Entrez b :",b));
n=prompt("Nombre de points n pair = ",n);
if (n==null) {return} else {n =eval(n)};
h=(b-a)/n;
j=f(a)/2+f(b)/2; // ---------- méthode des trapèzes ---------
for(i=1; i<=n-1; i++) {j = j + f(a+i*h)}
jtrap=j*h;
j=0 ; a1= a+h/2; // -------------- méthode des tangentes ---------
for(i=0;i<=n-1;i++) {j = j + f(a1+i*h)}
jtg=j*h ; jp=(jtrap+jtg)/2; err = abs(jtrap-jtg)/2
alert("Integrale trapezes = "+ jtrap+"\n"+"Integrale tangentes = "+ jtg+"Integrale Poncelet = "+ jp+
"\n"+"Erreur maximale = "+err)}
}

function f(x)
{
with(Math){y=eval(fonc) return y}
}
</SCRIPT>

Par défaut, le programme calcule une approximation de ln 2 en calculant l'intégrale de f(x) = 1/x sur l'intervalle [1;2] avec n = 100. On obtient J = 0,69314874..., soit une valeur approchée de ln 2 = 0,693147181... avec une erreur inférieure à 2.10^-6.

La méthode de Simpson, quoique généralement très satisfaisante, ne fournit pas un calcul simple de l'erreur. La méthode de Poncelet a donc l'immense avantage d'être simple et de fournir une évaluation également simple de l'erreur commise !