ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
VITALI Giuseppe ,
italien, 1884-1932 |
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VITALI Giuseppe ,
italien, 1884-1932 |
» Portrait et éléments biographiques avec l'aimable autorisation de la Società Italiana di Storia delle Matematiche.
Après des études supérieures à l'école normale supérieure de Pise sous la direction de Dini dont il fut l'assistant, Vitali enseignera les mathématiques au niveau secondaire et à l'école navale de Gênes tout en poursuivant des recherches en analyse.
En 1909, il se détourne des mathématiques et entre en politique jusqu'en 1922, année marquant l'arrivée au pouvoir du fascisme dans une Italie en plein désarroi économique et social dû à la 1ère guerre mondiale.
Vitali revient alors aux mathématiques et obtient sur concours une chaire d'analyse infinitésimale à l'université de Modène puis à Padoue. Frappé d'hémiplégie en 1926, la santé de Vitali est précaire. Nommé à l'université de Bologne en 1930, il décède d'une crise cardiaque deux années plus tard.
Isolé du monde de la recherche mathématique jusqu'en 1922, les résultats et avancées de Vitali en analyse, obtenus à Gênes dans le prolongement des travaux de son maître (théorie de l'intégration, analyse fonctionnelle, espaces de Hilbert, calcul tensoriel appelé à l'époque calcul différentiel absolu), seront néanmoins reconnus par la communauté internationale.
On lui doit, dans le cadre de la théorie de la mesure et de l'intégrale de Lebesgue :
la recherche de conditions d'existence d'une primitive avec la mise en place (1905) du concept de fonction absolument continue sur un ensemble qui sera complété ultérieurement par Denjoy.
la construction d'un sous-ensemble de R, non mesurable au sens de Lebesgue (en admettant l'axiome du choix).
| Fonction absolument continue sur un intervalle : |
Dans ses travaux sur l'intégrabilité des fonctions à variation bornée, Vitali est amené à définir un nouveau concept : l'absolue continuité (il ne s'agit pas de la continuité de la valeur absolue de la fonction !) :
Soit f une fonction numérique partout définie sur un intervalle [a,b] et [an,bn] une suite arbitraire de sous-intervalles disjoints de [a,b]. On dira que f est absolument continue sur [a,b] si :
En choisissant n = 1, il est clair que :
Toute fonction absolument continue sur [a,b] est continue sur cet intervalle.
➔ Cette notion, plus forte que la continuité, voit son usage dans la théorie moderne des probabilités faisant usage de la théorie de la mesure et de l'intégrale au sens de Lebesgue où l'on fait usage de variables aléatoires absolument continue plutôt que (simplement) continues.
La notion de variable aléatoire continue : »
| Fonction absolument continue au sens restreint : |
Sous les mêmes hypothèses :
Le nombre
est l'oscillation
de f sur l'intervalle [an,bn].
| Exemple (ou contre-exemple) de Vitali (1905) : |
Vitali fut le premier à découvrir une partie de R non mesurable au sens de Lebesgue (Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, publié à Bologne en 1905) :
Soit J = [0,1] ⊂ R. On définit sur J la relation x S y ssi x - y ∈Q. La relation S est clairement une relation d'équivalence. Les classes d'équivalence sont en nombre infini. Vitali ne se pose pas la question de leur dénombrabilité. L'axiome de Zermelo, dit axiome du choix, vient juste de faire son apparition en Allemagne. Par un choix convenable d'un élément dans chaque classe (» réf.6a & 6b), Vitali construit un ensemble inclus dans J dont la mesure, si elle devait exister, entre en contradiction avec la propriété d'additivité de la mesure des ensembles disjoints.
➔ Pour en savoir plus :
Brun