ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Kampyle d'Eudoxe (du grec kampulos = courbé)          animation

Eudoxe de Cnide s'intéressa à la duplication du cube dans le cadre de sa théorie des proportions. Rappelons ce célèbre problème de l'Antiquité grecque :

La ville de Délos possédait un autel cubique à la gloire d'Apollon. Afin de débarrasser la ville d'une épidémie de peste, l'oracle avait exigé la construction d'un autel  exactement deux fois plus grand en volume.

Le problème de la duplication du cube revient à la construction de la racine cubique de 2 :

Si V = c3 alors (c2)3 = 2V.

Étant donnés deux nombres a et b, il est aisé de construire géométriquement, au sens euclidien de la règle et du compas, la moyenne proportionnelle de ces deux nombres, c'est à dire une mesure m tel que :

  Euclide n'entrera en scène qu'un siècle plus tard mais le concept platonicien de la pureté géométrique (le non usage des nombres et des mesures) était déjà installé. Eudoxe fut un contemporain de Platon qui lui enseigna la géométrie.

Supposons alors construits au voisinage de x = 1, un grand nombre de points y, placés en ordonnée, tels que :

Ces points appartiennent à la courbe d'équation y2 = x4 - x2 (courbe algébrique de degré 4) : c'est le kampyle d'Eudoxe, obtenu à droite par Cabri-Géomètre.

Intersectons celui-ci avec le cercle de centre I(1;0) de rayon 1; on obtient la racine cubique de 2 (sensiblement 1,26) :


La courbe tracée par Graphmathica.

Comme tous les procédés imaginés brillamment par les Grecs de l'antiquité pour contourner l'impératif platonicien de la règle et du compas, la méthode relève de l'approximation successive; on sait depuis Wantzel que la solution voulue par Platon n'existe pas !

Ci-dessous la figure Cabri-Géomètre obtenue en utilisant la propriété de Thalès et les moyennes proportionnelles pour placer x2 et y2, puis x2 - 1 (par cercle de centre x2 de rayon 1) et y en tant que racine carrée de y2 dans un repère orthonormé :

Génération du kampyle : déplacer x; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure



Le kampyle est  complété en vert, par symétrie axiale


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