ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

TSCHIRNHAUSEN Ehrenfrid-Walter de-, allemand, 1651-1708

Physicien allemand qui se consacra à l'optique géométrique et à la fabrication de lentilles et miroirs à l'usage de l'astronomie. Il prouva (1682). Étudiant les problèmes de réflexion et de réfraction des rayons lumineux il fut conduit à étudier les caustiques :

On appelle ainsi, pour une courbe (c), l'enveloppe (si elle existe) des rayons lumineux réfléchis ou réfractés par (c). Un point de rebroussement de cette enveloppe pend le nom de foyer : il y concentre la lumière, donc la chaleur : le terme caustique provient du grec kaustikos provenant de katein = brûler.

Tschirnhausen prouva que les caustiques des courbes algébriques sont rectifiables : on peut les obtenir par un calcul intégral; ce n'est pas le cas de l'elllipse, par exemple.

Étude de la caustique du cercle :

 Voici ce que dit d'Alembert au terme caustique de sa célèbre Encyclopédie :

On attribue ordinairement l'invention des caustiques à M. Tschirnhausen; il les proposa à l'académie des Sciences en l'année 1682; elles ont cette propriété remarquable, que lorsque les courbes qui les produisent sont géométriques, elles sont toujours rectifiables.

Ainsi la caustique formée des rayons réfléchis par un quart de cercle, est égale aux 3/4 du diamètre. Cette rectification des caustiques a été antérieure au calcul de l'infini, qui nous a fourni celle de plusieurs autres courbes. L'académie nomma un comité pour examiner ces nouvelles courbes ; il était composé de MM. Cassini, Mariotte, & de la Hire, qui révoquèrent en doute la description ou génération que M. Tschirnhausen avait donnée de la caustique par réflexion du quart de cercle : l'auteur refusa de leur découvrir sa méthode, & M. de la Hire persista à soutenir qu'on pouvait en soupçonner la génération de fausseté.

Edme Mariotte, physicien français (1620-1684), célèbre par la loi relative aux gaz et portant son nom (à température constante, le volume d'un gaz parfait est inversement proportionnelle à sa pression : P x V = cte, loi également énoncée à la même époque par l'irlandais Boyle). Mariotte établit également d'importants résultats basés sur l'expérimentation en hydrodynamique, élasticité et optique.

Quoi qu'il en soit, M. Tschirnhausen la proposait avec tant de confiance qu'il l'envoya aux actes de Leipzig, mais sans démonstration. M. de la Hire a fait voir depuis dans son traité des épicycloïdes, que M. Tschirnhausen s'était effectivement trompé dans la description de cette caustique. On trouve dans l'Analyse des infiniment petits de M. le marquis de l'Hospital, une méthode pour déterminer les caustiques de réflexion et de réfraction d'une courbe quelconque, avec les propriétés générales de ces sortes de courbes que le calcul des infiniment petits rend très aisé à découvrir et à entendre.

Le mot caustique vient du grec je brûle parce que les rayons étant ramassés sur la caustique en plus grande quantité qu'ailleurs peuvent y brûler si la caustique est d'une fort petite étendue. Dans les miroirs paraboliques, la caustique des rayons parallèles à l'axe est un point qu'on nomme le foyer de la parabole.

Dans les miroirs sphériques d'une étendue de 20 à 30 degrés, la caustique des rayons parallèles à l'axe est d'une très petite étendue, ce qui rend les miroirs sphériques et paraboliques capables de brûler (...).

Miroirs paraboliques et miroirs sphériques (dans ChronoMath) :

Courbe (ou cubique) de Tschirnhausen (1690) :

Il s'agit de la caustique par réflexion d'une parabole par des rayons perpendiculaires à son axe ou l'antipodaire d'une parabole par rapport à son foyer :

Étudiée 6 ans plus tard par Michel de l'Hospital dans son Analyse des infiniment petits, cette cubique porte aussi parfois son nom.

Catalan remarqua qu'elle pouvait servir à la trisection approchée de l'angle, raison pour laquelle, Gino Loria (italien, 1862-1954), professeur à Gènes et historien des mathématiques nomma la courbe trisectrice de Catalan.

Étude de la courbe :


Raphson  Rolle
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