ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Cubique de Tschirnhausen
également dite de
L'Hospital
» interprétation en tant que trisectrice |
Il s'agit de la caustique par réflexion d'une parabole par des rayons perpendiculaires à son axe. Elle est tracée ci-dessous au moyen du logiciel Cinderella lorsque la parabole a pour équation x = 4y2.
on a tracé la parabole : en vert, définie par 5 points; ici x = 4y2; son foyer est F, sa directrice Δ.
la perpendiculaire à l'axe passant par P (rayon lumineux) coupe la parabole en M;
on trace la tangente en M;
on trace la normale en M (en bleu-violet);
on trace le rayon réfléchi;
on demande au logiciel de tracer le lieu du rayon réfléchi lorsque P varie : il fournit la courbe enveloppe.
on obtient la courbe de Tschirnhausen (en rouge).
On sait que la tangente en M est la bissectrice de l'angle ^HMF. Par conséquent les angles marqués ont même mesure et l'angle ^FMT est droit (T désigne le point de tangence de la tangente en M à la courbe. La parabole apparaît donc comme podaire de cette courbe par rapport à F, également dit foyer de la courbe de Tschirnhausen, laquelle est donc l'antipodaire de la parabole par rapport à son foyer.
On peut démontrer (voir cas général) que si l'équation de la parabole est y2 = 2px (de paramètre p), en choisissant son foyer F comme origine, l'axe des abscisses étant son axe, l'équation de la courbe de Tschirnhausen en repère orthonormé est :
La courbe passe par le sommet de la parabole en (-p/2,0) et le point double est en (4p,0).
➔ Noter que la sextique de Cayley est l'inverse de la courbe de Tschirnhausen par rapport à son foyer.
Inversion géométrique : »
∗∗∗
1°) Montrer qu'une équation (un peu) plus simple peut être
obtenue en prenant le point double comme origine, à savoir :
x3
= k(3y2 - x2) ,
k = 9p/2
2°)
Vérifier que les tangentes au point double font entre elles un angle de
60°.
Voici la courbe obtenue lorsque p = 1 :
En passant en coordonnées polaires, on a :
