ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cubique de Tschirnhausen également dite de L'Hospital      
    
interprétation en tant que trisectrice

Il s'agit de la caustique par réflexion d'une parabole par des rayons perpendiculaires à son axe. Elle est tracée ci-dessous au moyen du logiciel Cinderella lorsque la parabole a pour équation x = 4y2.

On sait que la tangente en M est la bissectrice de l'angle ^HMF. Par conséquent les angles marqués ont même mesure et l'angle ^FMT est droit (T désigne le point de tangence de la tangente en M à la courbe. La parabole apparaît donc comme podaire de cette courbe par rapport à F, également dit foyer de la courbe de Tschirnhausen, laquelle est donc l'antipodaire de la parabole par rapport à son foyer.

On peut démontrer (voir cas général) que si l'équation de la parabole est y2 = 2px (de paramètre p), en choisissant son foyer F comme origine, l'axe des abscisses étant son axe, l'équation de la courbe de Tschirnhausen en repère orthonormé est :

27p(x2 + y2) = 2(x + 2p)3

La courbe passe par le sommet de la parabole en (-p/2,0) et le point double est en (4p,0).

  Noter que la sextique de Cayley est l'inverse de la courbe de Tschirnhausen par rapport à son foyer.

Inversion géométrique :


1°) Montrer qu'une équation (un peu) plus simple peut être obtenue en prenant le point double comme origine, à savoir :
x3 = k(3y2 - x2) ,   k = 9p/2
2°) Vérifier que les tangentes au point double font entre elles un angle de 60°.

Voici la courbe obtenue lorsque p = 1 :


27(x2 + y2) = 2(x + 2)3 : tracée au moyen de l'option courbe implicite f(x,y) = 0 de curvus 3D

En passant en coordonnées polaires, on a :


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