Paul Poulet

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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POULET Paul, belge ?, 188?-1946

Merci à Xavier Hubaut, professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles, à Roger L. Cooke, professeur émérite de l'université du Vermont (Burlington, USA) et à Richard K. Guy, professeur à l'université de Calgary (Canada) pour leur aide dans la rédaction de cette page.

Il semble que Paul Poulet fut un mathématicien belge autodidacte passionné d'arithmétique. Il édita ses travaux à Bruxelles, éditions Stevens : « Parfaits, amiables et extensions » (1918) ainsi que « La chasse aux nombres » (1929) qu'il dit avoir écrit à Lambres-lez-Aire, village français du Pas-de-Calais. En 1947, dans un article sur les nombres de Mersenne, le mathématicien américain D. H. Lehmer fait allusion à la publication de deux factorisations dues à Poulet en 1946, année de sa mort.

Poulet exhibera de "grands" nombres parfaits ou amicaux (on dit aussi amiables) comme, selon David Moews : 32 685 250 et 34 538 270, ce qui représente une somme de travail considérable eu égard, à l'époque, à l'absence de calculatrices et d'ordinateurs !

Nombres de Poulet :

Ces nombres sont synonymes de nombres pseudo-premiers de base 2, désignant les entiers composés p tel que 2^p ≡ 2 [p]. Découverts en Chine au 6è siècle avant J.-C., ils sont parfois qualifiés de nombres chinois et furent étudiés par Poulet dans les années 1910-1930 et généralisés par Carmichael. Ils firent également l'objet d'études de la part du mathématicien polonais contemporain Andrzej Rotkiewicz qui prouva (1965) que si n >19, on trouve un nombre de Poulet entre n et n² : il y en a donc une infinité. Les premiers nombres de Poulet sont :

341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, ...

➔ L'existence de nombres de Poulet pairs fut un problème ouvert jusqu'en 1950, année qui vit la découverte, par le mathématicien américain Derrick Henry Lehmer (1905-1991), du plus petit de ces nombres : 161038.

Nombres sociables :

A la manière des Pythagoriciens, Poulet définit les nombres sociables de la façon suivante, généralisant les concepts de nombres parfaits et de nombres amicaux. Si a est un entier naturel, notons :

s₁(a) la somme de ses diviseurs propres (autres que lui-même);
s₂(a) la somme des diviseurs propres de s₁(a);
...
s_n(a) la somme des diviseurs propres de s_n-1(a).

On définit ainsi une suite de nombres. Trois cas apparaissent :

♦ On finit par tomber sur un nombre premier, ce qui conduit à s_n(a) = 0 à partir d'un certain rang : suite constante.

♦ On retrouve un nombre déjà obtenu : suite périodique. Si s₁(a) = a : a est un nombre parfait; on dira que la période est 1. Exemples : a = 6, a = 28. Si s₁(a) = b, distinct de a et s₁(b) = a, soit s₂(a) = a : a et b sont amicaux; on dira que la période est 2. Exemple : a = 220, b = 284. Si s_n(a) = a, les s_k(a), k = 1,2,...n étant distincts deux à deux, on dira que la période est n et les nombres obtenus sont qualifiés par Poulet de sociables et on peut préciser d'ordre n. Des nombres amicaux sont donc sociables d'ordre 2, un nombre parfait est sociable d'ordre 1.

♦ La suite semble ni constante ni périodique; les s_n(a) peuvent devenir très grands; Poulet cite le cas a = 138 sans en venir à bout et conjecture cependant que les suites s_n(a) sont finies ou périodiques.

Des mathématiciens, spécialistes en théorie des nombres, comme Richard K. Guy, étudient encore aujourd'hui ces suites (aliquot sequences). La conjecture de Poulet reste un problème ouvert (février 2003). Aucune séquence d'ordre 3 n'a encore été trouvée. On connaît aujourd'hui une cinquantaine de séquences d'ordre 4. Une seule d'ordre 5, trouvée par Poulet lui-même, commençant par a = 12496.

Nombres pseudo-premiers, recherche des nombres de Poulet : » » Carmichael , Mersenne

Conjecture de Poulet (1932) in Nouvelles suites arithmétiques :

Soit σ(n) la somme des diviseurs d'un entier naturel n et Φ(n) la fonction indicatrice d'Euler (totient). Alors la suite définie par :

u_o = n , u_2k+1 = σ(u_2k) , u_2k = Φ(u_2k-1)

s'avère périodique à partir d'un certain rang. Cette difficile conjecture fut étudiée par Erdös. On en trouvera l'étude en réf.4 ci-dessous. Elle reste aujourd'hui un problème ouvert et est à rapprocher de celle de Catalan.

➔ Pour en savoir plus :

pages d'Eric Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/SociableNumbers.html
pages de David Moews (Uuniversité du Connecticut, Storrs, USA) :
- Home page : http://xraysgi.ims.uconn.edu/dmoews.html
- Parfaits, amiables, sociables : http://xraysgi.ims.uconn.edu/amicable.html
- Consulter aussi la page : http://xraysgi.ims.uconn.edu/sociable.txt
pages de Neil J.A. Sloane : On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (on peut choisir la page d'accueil en français).
Sélectionner Word et taper aliquot sequence dans le champ texte. Accueil : http://www.research.att.com/~njas/
Conjecture de Poulet sur le site du projet Euclide : A conjecture in elementary number theory

Bernstein Serge, né en 1880

Fisher, né en 1890