ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Équation et conjecture de Catalan          niveau TerS spéMath

On se propose ici d'explorer très modestement l'équation, dite de Catalan, d'inconnues entières x, y, n et p  non nulles (équation diophantienne) :

xn - yp = 1

dont la recherche de toutes les solutions fut un problème ouvert jusqu'en 2002.

2n - 3p = 1 nécessite n = 2 et p = 1

Preuve :       

22m - 1 = (2m - 1)(2m + 1) = 3p

On en déduit par raisonnements successifs analogues que n est une puissance de 2 : n = 2k.

Conjecture de Catalan :

32 - 23 = 1 fournit une solution non triviale de l'équation générale. Est-ce la seule ? C'est la conjecture de Catalan. Quoi qu'il en soit, on peut montrer que c'est la seule de cette forme, c'est à dire :

3p - 2n = 1 nécessite p = 2 et n = 3

Preuve :         

Pour tout n, le reste de la division de 2n par 3 est 0, 1 ou 2. Comme vu précédemment, si n est pair alors 2n 1  [3]  (congruence modulo 3). Donc 3p 2  [3]. Ce qui n'est pas possible. Il est donc nécessaire que n soit impair. Posons n = 2m + 1. Auquel cas :

3p - 1 = 2 x 4m

Une étude simple des puissances de 3 montre que si p est impair, alors 3p 3  [4]. Nous aurions alors :

2 2 x 4m  [4]

Ce qui est absurde. Par suite, si solution il y a, p est pair. Posons p = 2k. nous avons :

32k - 1 = (3k - 1)(3k + 1) = 2n

Il suit que 3k - 1 est aussi une puissance de 2 et, tout comme précédemment, on en déduit que p est une puissance de 2, soit p = 2u


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