ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 TIKHONOV
(Tychonoff) Andrei Nikolaiévitch,
russe, 1906-1993 |
Tikhonov
étudia la physique et les mathématiques à Moscou où Alexandrov, de 10 ans seulement
son aîné, fut son directeur de thèse (1927). Il obtint une chaire de
mathématiques à l'université de Moscou (1936) et enseigna également la physique
mathématique.
Ses travaux portèrent sur la topologie générale ainsi qu'en analyse fonctionnelle où il compléta des travaux de Volterra.
Théorème de Tikhonov (1930) :
Tout espace, produit quelconque d'espaces compacts, est compact. Inversement, si un produit d'espaces non vides est compact, chacun des espaces qui le composent est compact.
Dans cet énoncé, par produit quelconque, on entend ici fini ou infini, dénombrable ou non. Le théorème s'énonce de la même façon pour des espaces quasi-compacts.
➔ Rappelons qu'un espace topologique est dit quasi-compact si de tout recouvrement par une famille d'ouverts, on peut extraire un recouvrement fini. Il est dit compact si, de plus, il est séparé.
L'usage de la notion de filtre et d'ultrafiltre, introduits 7 ans plus tard par Cartan, permet une preuve simple et élégante de cet important théorème (on pourra se référer à la topologie générale de Bourbaki, ci-dessous).
➔ Pour en savoir plus :
Éléments de Mathématique, Topologie générale, Ch. 1, §9, N. Bourbaki, Éd. Hermann, Paris - 1965.
Topologie générale et analyse fonctionnelle, par
Laurent Schwartz
Éd. Hermann, Collection enseignement des sciences - Paris, 1977, rééd. 1993.
Weil