ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Colle logique... (suite de Conway)

Voici 6 lignes de chiffres. Quelle est logiquement la 7è ligne ?

1  

1  1

2  1

1  2  1  1

1  1  1  2  2  1

3  1  2  2  1  1

Si tu sèches après avoir bien cherché :
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution

Vu ?

Par conséquent, la réponse était :

1 3 1 1 2 2 2 1

La 8ème ligne serait :

1 1 1 3 2 1 3 2 1 1

etc.


Posons u1 = 1, u2 = 11, u3 = 21, u3 = 1211 ... On définit ainsi une suite (un) dans l'ensemble N des entiers naturels. On a ainsi : u7 = 13112221, u8 = 1113213211, u9 = 31131211131221, u10 = 13211311123113112211...

C'est une suite strictement croissante. On peut montrer que la suite ne contient que les chiffres 1, 2 et 3 et qu'à l'exception du 1er terme 1, chaque terme de la suite possède un nombre pair de chiffres. Vous montrerez facilement par récurrence que les termes de rang pair finissent par 11 et ceux de rang impair par 21.

Le rapport un+1/un converge vers une limite finie L, dite constante de Conway : L 1,303577. Ce nombre n'est pas transcendant mais algébrique de degré 71 ( Mathworld) !!! On peut l'exprimer sous forme de fraction continue :

L = [1,3,3,2,2,54,5,2,1,16,1,30,1,1,1,2,2,1,14,1, ...]      (source Mathworld)


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