ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul sur les fractions unitaires          
   
Conjectures de Sierpinski-Erdös-Straus & autres décompositions

En l'absence d'un système pratique de calcul qu'apportera 3000 ans plus tard la division décimale et notre système de numération positionnel (grâce, tout particulièrement, à Oresme, Chuquet et Stevin), les Égyptiens, qui utilisaient un système additionnel de base 10, eurent recours à un subtil emploi de la décomposition des quantités fractionnaires en fractions unitaires (également baptisées fractions égyptiennes) : dont le numérateur est 1.

Ces fractions permettaient de résoudre les problèmes de partage à vocation commerciale ou domestique.

Les fractions de base étaient 1/2, 1/3, 1/4, mais aussi 2/3 (qui avait son propre symbole). Une fraction unitaire était notée au moyen de ce que nous appelons aujourd'hui le dénominateur surmonté d'un ovale.

 Ci-contre, les fractions 1/4, 1/7 et 1/8 transcrites
en écriture hiéroglyphique puis hiératique

  Oeil d'Horus...

Le principe de base pour la décomposition était le "dédoublement" et l'interdiction d'utiliser deux fractions unitaires identiques (2/7 = 1/7 + 1/7 n'est pas licite). Ahmes donne une table de décomposition des fractions de la forme 2/n.

On obtient facilement les décompositions ci-après, soit par "tâtonnements", soit par usage de formules remarquables, comme :

            2/n = 1/n + 1/2n + 1/3n + 1/6n            2/ab = 1/ka + 1/kb  avec k = (a+b)/2   (a et b impairs)
               Si n est premier, on peut utiliser la formule décomposant 2/ab avec a = 1 et b = n

  • 2/3 = 1/2 + 1/6         d'où    2/3n = 1/2n + 1/6n    (*)
  • 2/5 = 1/3 + 1/15        d'où   2/5n = 1/3n + 1/15n   (**)
  • 2/7 = 1/28 + 1/4
  • 2/11 = 1/6 + 1/66
  • 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
  • 3/4 = 1/2 + 1/4
  • 3/7 = 1/7 + 2/7 = 1/7 + 1/4 + 1/28
     
  • 4/5 = 2/5 + 2/5 = 2/3 + 2/15 = 1/2 + 1/6 + 2/15 = 1/2 + 1/6 + 6/45
    4/5 = 1/2 + 1/6 + 5/45 + 1/45 = 1/2 + 1/6 + 1/9 + 1/45
    4/5 = 1/2 + 1/6 + 1/10 + 1/30  
    (usage de la formule ** pour décomposer 2/15)

Ce dernier exemple montre que la décomposition unitaire peut ne pas être unique

 

  Fibonacci explicita (1202) un algorithme de décomposition de toute fraction en somme de fractions unitaires. Le mathématicien américain Solomon W. Golomb (1932-) prouva, en utilisant les suites de Farey, que toute fraction x = n/d peut se décomposer en une somme d'au plus n fractions unitaires distinctes (An algebraic algorithm for the representation problems of the Ahmes papyrus,1962).

  En remarquant que 4 = 1 + 3, décomposer 4/9 sous la forme 1/a + 1/b
  En remarquant que 3/5 = 6/10, décomposer 3/5 sous la forme 1/a + 1/b
  En remarquant que 3/7 = 15/35, décomposer 3/7 sous la forme 1/a + 1/b +1/c
  Montrer que 3/7 ne peut se décomposer sous la forme 1/a + 1/b, a et b entiers naturels
           En procédant à la division euclidienne de 7 par 3, décomposer 3/7 sous la forme 1/a - 1/b

Conjectures de Sierpinski-Erdös-Strauss & programme JavaScript de décomposition (2 à 5 fractions)  :


 

L'œil d'Horus

A noter l'étonnante et spécifique utilisation du sacré dans la mesure des capacités à l'époque pharaonique : le dieu Horus, représenté sous la forme d'un faucon (ou d'un homme à tête de faucon) était le dieu du ciel. Ses yeux symbolisaient le Soleil et la Lune. Il fut aussi identifié au pharaon (le roi) tout comme Louis XIV, le roi Soleil...

La forme des éléments constitutifs de l'oeil d'Horus furent utilisés pour désigner les fractions unitaires dont le dénominateur est une puissance de 2 : de 2 à 64.

  cornée gauche : 1/2        iris : 1/4
  sourcil : 1/8                    cornée droite : 1/16
  coloris spiralée (sous l'oeil du faucon pèlerin) : 1/32
  coloris vertical (sous l'oeil du faucon pèlerin) : 1/64


© Serge Mehl - www.chronomath.com