ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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 Génération
d'une hyperbole #2 par
son cercle directeur» Étude de l'hyperbole , génération par foyer & directrice , cas de la parabole , de l'ellipse |
L'hyperbole est ainsi générée :
Soit a un nombre réel strictement positif;
Sur une droite, on place deux points A et A' tels que AA' = 2a; on appelle O le milieu de [AA']; on place F sur la demi-droite [OA) de sorte que OF > a et on note F' son symétrique par rapport à O. On a donc FF' > 2a;
Soit (c) le cercle de centre F de rayon 2a;
Soit P un point du cercle (c); on trace [PF'] et [PF];
Lorsque la médiatrice (t) de [PF'] coupe [PF], on appelle M le point d'intersection;
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) :
Déplacer le
point P; Constatez ! Pour effacer double-cliquez dans la figure.
Lorsque P décrit (c), le point M décrit deux branches de courbe. M est rejeté à
l'infini lorsque, par deux fois, (t) est parallèle à (PF).
Étude de la nature de la courbe :
On remarque que M ne peut appartenir à [PF] lorsque P varie : en effet, les points de [PF] sont inclus dans le demi-plan des points K tels que KP < KF', ce qui n'est donc pas le cas de M. Deux cas se présentent alors :
On retrouve l'équation bifocale de l'hyperbole | MF - MF' | = 2a, de foyers F et F'. Le cercle (c) est appelé cercle directeur de l'hyperbole associé à F.
➔ L'hyperbole, comme l'ellipse, apparaît également comme enveloppe des droites (t), enveloppe de ses tangentes :
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Déplacer le
point P; Constatez ! Pour effacer double-cliquez dans la figure.
➔ On voit que la droite (t) est effectivement la tangente à l'hyperbole sachant qu'elle doit être la bissectrice intérieure de l'angle ^FMF'. On retrouve là encore, comme l'ellipse, un résultat important :
le symétrique d'un foyer par rapport à la tangente est situé sur le cercle directeur de l'autre foyer