ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Génération d'une hyperbole #2    par son cercle directeur
    
Étude de l'hyperbole ,  génération par foyer & directrice , cas de la parabole , de l'ellipse

L'hyperbole est ainsi générée :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Déplacer le point P; Constatez ! Pour effacer double-cliquez dans la figure.
Lorsque P décrit (c), le point M décrit deux branches de courbe. M est rejeté à l'infini lorsque, par deux fois, (t) est parallèle à (PF).
 
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Étude de la nature de la courbe :    

On remarque que M ne peut appartenir à [PF] lorsque P varie : en effet, les points de [PF] sont inclus dans le demi-plan des points K tels que KP < KF', ce qui n'est donc pas le cas de M. Deux cas se présentent alors :

On retrouve l'équation bifocale de l'hyperbole | MF - MF' | = 2a, de foyers F et F'. Le cercle (c) est appelé cercle directeur de l'hyperbole associé à F.

L'hyperbole, comme l'ellipse, apparaît également comme enveloppe des droites (t), enveloppe de ses tangentes :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Déplacer le point P; Constatez ! Pour effacer double-cliquez dans la figure.
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

On voit que la droite (t) est effectivement la tangente à l'hyperbole sachant qu'elle doit être la bissectrice intérieure de l'angle ^FMF'. On retrouve là encore, comme l'ellipse, un résultat important :

le symétrique d'un foyer par rapport à la tangente est situé sur le cercle directeur de l'autre foyer


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