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Dérivées partielles & extremum #5  matrice de Hesse
    
» cas de 2 variables : f(x,y) = x3 + y4 - yx2 - xy2 | méthode classique : #1  #2 , #3 | Volume maximal

On considère la fonction numérique de trois variables indépendantes définie sur R3 par f(x,y,z) = yz + zx - xy.

1°/ Montrer que f admet un unique point critique en (0,0,0).

2°/ Donner la matrice hessienne de f en (0,0,0) et calculer son déterminant.

3°/ Étudier la nature du point critique.

Solution :  

1°/  ∂f/∂x = z - y , ∂f/∂y = z - x , ∂f/∂z = y + x.

      ∂f/∂x = ∂f/∂y = ∂f/∂z = 0  ⇔ x = y = z et y = -x  ⇔  x = y = z = 0.

2°/  2f/∂x2 = ∂2f/∂y2 = ∂2f/∂z2 = 0.

     
2f/∂x∂y = - 1 ,  2f/∂y∂z = 1 ,  2f/∂x∂z = 1.

La matrice de Hesse de f au point (0,0,0) est donc :

Son déterminant est det(M) = - 2.

3°/  Le déterminant de M étant négatif (le produit des valeurs propres de M est négatif), la forme quadratique associée au développement de Taylor d'ordre 2 change de signe au voisinage de (0,0,0). il s'agit donc d'un point selle.

On pourra vérifier que les valeurs propres sont ici λ1 = λ2 = 1, λ3 = -2. Cet exemple est à rapprocher de :

Étude d'une quadrique  par réduction d'une forme quadratique :  ››››

Ligne de niveau f(x,y,z,) = 1


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