ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Dérivées partielles &
extremum #5
matrice de Hesse» cas de 2 variables : f(x,y) = x3 + y4 - yx2 - xy2 | méthode classique : #1 #2 , #3 | Volume maximal |
On considère la fonction numérique de trois variables indépendantes définie sur R3 par f(x,y,z) = yz + zx - xy.
1°/ Montrer que f admet un unique point critique en (0,0,0).
2°/ Donner la matrice hessienne de f en (0,0,0) et calculer son déterminant.
3°/ Étudier la nature du point critique.
Solution :
1°/
∂f/∂x
= z - y ,
∂f/∂y
= z - x , ∂f/∂z
= y + x.
∂f/∂x
=
∂f/∂y
=
∂f/∂z
= 0 ⇔ x
= y = z et y = -x
⇔ x = y
= z = 0.
2°/
∂2f/∂x2
= ∂2f/∂y2
= ∂2f/∂z2
= 0.
∂2f/∂x∂y
= - 1 , ∂2f/∂y∂z
= 1 , ∂2f/∂x∂z
= 1.
La matrice de Hesse de f au point (0,0,0) est donc :
Son déterminant est det(M) = - 2.
3°/ Le déterminant de M étant négatif (le produit des valeurs propres de M est négatif), la forme quadratique associée au développement de Taylor d'ordre 2 change de signe au voisinage de (0,0,0). il s'agit donc d'un point selle.
On pourra vérifier que les valeurs propres sont ici λ1 = λ2 = 1, λ3 = -2. Cet exemple est à rapprocher de :
Étude d'une quadrique par réduction d'une forme quadratique : ››››
Ligne de niveau f(x,y,z,) = 1