ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Extremums d'une fonction de 3 variables  matrice de Hesse
    
Cas de 2 variables

On considère la fonction numérique définie sur R3 par f(x,y,z) = yz + zx - xy

1°/ Montrer que f admet un unique point critique en (0,0,0).

2°/ Donner la matrice hessienne de f en (0,0,0) et calculer son déterminant.

3°/ Étudier la nature du point critique.

Solution :  

1°/  f/x = z - y , f/y = z - x , f/z = y + x.

      f/x = f/y = f/z = 0  x = y = z et y = -x    x = y = z = 0.

2°/  2f/x2 = 2f/y2 = 2f/z2 = 0.

     
2f/xy = - 1 ,  2f/yz = 1 ,  2f/xz = 1.

La matrice de Hesse de f au point (0,0,0) est donc :

Son déterminant est det(M) = - 2.

3°/  Le déterminant de M étant négatif (le produit des valeurs propres de M est négatif), la forme quadratique associée au développement de Taylor d'ordre 2 change de signe au voisinage de (0,0,0). il s'agit donc d'un point selle.

On pourra vérifier que les valeurs propres sont ici λ1 = λ2 = 1, λ3 = -2. Cet exemple est à rapprocher de :

Étude d'une quadrique  par réduction d'une forme quadratique :

Ligne de niveau f(x,y,z,) = 1


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