ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nature d'un extremum d'une fonction f(x,y)       niveau Sup
     
Matrice hessienne et forme quadratique

f désignant une fonction numérique (à valeurs dans R) définie sur un ouvert U de R2 et au moins deux fois continument dérivable (ses dérivées partielles d'ordre 1 et 2 existent et sont continues sur U), on se place en un point (a,b) où le gradient de f est nul (point critique) :

f/x1 = f/x2 = 0

C'est une condition nécessaire d'extremum :

Formule de Taylor et extremum d'une fonction de plusieurs variables :

Le problème est alors de connaître le comportement de f au voisinage de ce point (minimum, maximum, point selle). En cas de point critique, le développement de Taylor de la fonction f au voisinage de (a,b) peut s'écrire :

Appelons Δf le 1er membre. On reconnaît dans le crochet une forme quadratique de type

q(h,k) = Ah2 + 2Bhk + Ck2

Si on se place suffisamment proche de (a,b), h et k sont infiniment petits et Δf est du signe de q(h,k).

D'autre part, comme expliqué à la page consacrée à Otto Hesse, ce développement peut s'écrire au moyen de la matrice de Hesse :

La matrice de Hesse étant symétrique, elle est diagonalisable et le théorème de décomposition de Gauss nous permet d'écrire :

q(h,k) = λ1[L1(h,k)]2 + λ2[L2(h,k)]2

où λ1 et λ2 sont les valeurs propres de Hesse(f) au point (a,b), L1 et L2 étant des formes linéaires du 1er degré en h et k.

Par conséquent, sans qu'il soit nécessaire, dans ce cas, de faire le calcul des valeurs propres de la matrice hessienne :

Cette discussion (n = 2) se généralise à n variables par la même voie de réduction de la forme quadratique avec le calcul effectif des valeurs propres de la matrice hessienne :

 
Étude locale d'une fonction de 3 variables

Exercice résolu (n = 2) :    

On pose f(x,y) = x3 + y4 - yx2 - xy2.

a/  Montrer l'existence de trois points critiques.
b/  Étudier leurs natures dans le cas x = y.

   Voir la solution


Pour en savoir plus :


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